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目录1

第一章　微分几何基础1

§1.1 曲线和曲面的参数表示1

1.1.1 曲线的参数表示1

1.1.2 曲面的参数表示3

1.1.3　旋转曲面7

§1.2　曲线论8

1.2.1　矢量微分及泰勒定理（Taylor s theorem）8

1.2.2　曲线的切线和曲率11

1.2.3　曲线的主法线和副法线13

1.2.4　曲线的挠率15

1.2.5　佛锐耐-塞雷（Frenet-Serret）公式18

1.2.6 曲线在一点邻域的性质22

§1.3　曲面论25

1.3.1 曲面上坐标曲线的切矢和切平面25

1.3.2　曲面的第一基本形式26

1.3.3　曲面的面积28

1.3.4 曲面的第二基本形式29

1.3.5　曲面上的曲率31

1.3.6　法截线与麦尼埃（Meusnier）定理33

1.3.7 曲面上点的分类35

1.3.8　欧拉（Euler）公式37

1.3.9 曲面的第三基本形式40

1.4.1　空间曲线族的包络41

§1.4　包络、直纹面、可展曲面及其他41

1.4.2　直纹面42

1.4.3　可展曲面43

1.4.4　切线面45

1.4.5　参数曲线的弧长、面积和体积45

第二章　代数插值和逼近48

§2.1　插值和逼近48

§2.2　线性插值与抛物插值49

2.2.1　线性插值49

2.2.2　抛物插值50

§2.3　拉格朗日（Lagrange）插值法51

2.4.1　差商及其性质54

§2.4　牛顿（Newton）插值法54

2.4.2　牛顿插值法61

§2.5　埃尔米特（Hermite）插值64

§2.6　最小二乘逼近65

第三章　样条函数69

§3.1　三次样条函数69

3.1.1　三次样条函数的力学背景69

3.1.2　用一阶导数表示的三次样条函数71

3.1.3　用二阶导数表示的三次样条函数79

3.1.4　三次样条函数的极坐标形式87

3.1.5　一端具有无穷导数的三次样条89

3.1.6　曲线中夹有直线段的三次样条91

3.1.7　三次参数样条94

3.2.1　用一阶导矢表示的三次样条97

§3.2　空间样条曲线97

3.2.2　用二阶导矢表示的三次样条103

3.2.3　用偶阶导矢表示的五次样条108

第四章 贝齐尔（Bèzier）曲线116

§4.1 用顶点矢量表示的贝齐尔曲线116

4.1.1　曲线方程116

4.1.2　伯恩斯坦函数的性质119

4.1.3　贝齐尔曲线的性质123

§4.2　用边矢量表示的贝齐尔曲线127

4.2.1　曲线方程127

4.2.2　贝齐尔基函数的性质129

4.2.3　贝齐尔曲线的原始定义131

4.3.1　基本定理的证明133

§4.3 贝齐尔曲线的几何作图法133

4.3.2　速端曲线（Hodographs）135

4.3.3　平面上三次贝齐尔曲线形状的控制139

§4.4 贝齐尔曲线的拼接、修改和反求顶点问题141

4.4.1　贝齐尔曲线的拼接141

4.4.2　贝齐尔曲线的修改143

4.4.3　反求顶点144

第五章　B样条曲线146

§5.1 均匀B样条及其几何性质146

5.1.1　定义146

5.1.2　一次B样条148

5.1.3　二次B样条150

5.1.4　三次B样条154

5.1.5　B样条函数的一种快速递推法159

5.1.6　三次参数曲线的几种等价表示171

5.1.7　反求顶点174

§5.2　非均匀B样条179

5.2.1　定义179

5.2.2　一次B样条180

5.2.3　二次B样条183

5.2.4　三次B样条192

5.2.5　B样条函数的递推定义199

5.2.6　非均匀B样条的基本特性202

§6.1 直纹曲面210

第六章　曲面210

§6.2　孔斯（Coons）曲面212

6.2.1　第一类孔斯曲面214

6.2.2　第二类孔斯曲面217

6.2.3　第三类孔斯曲面222

6.2.4　孔斯曲面的引伸224

§6.3　张量积曲面227

§6.4　费格森（Ferguson）曲面229

§6.5 贝齐尔曲面及其拼合231

6.5.1　贝齐尔曲面231

6.5.2　贝齐尔曲面和费格森曲面的等价性234

6.5.3　贝齐尔曲面的拼合237

§6.6 B　样条曲面242