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第1章 实变量1

1.实数1

2.用直线上的点表示有理数1

3.无理数2

4.无理数（续）6

5.无理数（续）7

6.无理数（续）9

7.无理数（续）10

8.实数11

9.实数之间的大小关系12

10.实数的代数运算13

11.实数的代数运算（续）15

12.数？15

13.二次根式16

14.关于二次根式的某些定理17

15.连续统20

16.连续的实变量22

17.实数的分割22

18.极限点24

19.Weierstrass定理25

第1章杂例26

第2章 实变函数35

20.函数的概念35

21.函数的图形表示37

22.极坐标39

23.函数和它们的图的表示的进一步的例子39

24.有理函数42

25.有理函数（续）43

26.显式代数函数44

27.隐式代数函数45

28.超越函数47

29.其他的超越函数类50

30.一元方程的图形解52

31.二元函数及其图形表示53

32.平面曲线54

33.空间中的轨迹55

第2章杂例58

第3章 复数63

34.沿直线和在平面上的位移63

35.位移的等价与位移的数乘64

36.位移的加法65

37.位移的乘法68

38.位移的乘法（续）69

39.复数70

40.复数（续）72

41.方程i2＝-172

42.用i作乘法的几何解释73

43.方程z2＋1＝0，az2＋2bz＋c＝073

44.Argand图75

45.De Moivre定理76

46.几个关于复数的有理函数的定理78

47.复数的根89

48.方程zn＝a的解90

49.De Moivre定理的一般形式92

第3章杂例92

第4章 正整变量函数的极限99

50.一个正整变量的函数99

51.插值100

52.有限类和无限类101

53.当n很大时n的函数所具有的性质101

54.当n很大时n的函数所具有的性质（续）102

55.习用语“n趋向无穷大”103

56.当n趋向无穷大时，n的函数φ（n）的性状104

57.当n趋向无穷大时，n的函数φ（n）的性状（续）106

58.极限的定义106

59.极限的定义（续）107

60.极限的定义（续）108

61.关于定义的几个要点108

62.振荡函数111

63.某些关于极限的一般性的定理115

64.定理I的附属结果116

65.B.两个性状已知的函数的乘积之性状117

66.C.两个性状已知的函数的差以及商的性状119

67.定理V119

68.定理V（续）120

69.以n为变量且与n一起递增的函数121

70.对定理的说明122

71.第19节中Weierstrass定理的另一证明123

72.当n趋向∞时xn的极限124

73.（1＋1／n）n的极限127

74.某些代数引理127

75.n（？-1）的极限129

76.无穷级数130

77.关于无穷级数的一般性定理132

78.无穷几何级数133

79.用极限来表示一元连续实变函数138

80.有界集合的界140

81.有界函数的界141

82.一个有界函数的不定元的极限141

83.有界函数收敛的一般原理143

84.无界函数144

85.复函数以及复项级数的极限145

86.定理的推广146

87.zn当n→∞时的极限，z是任意的复数147

88.当z为复数时的几何级数1＋z＋z2＋148

89.符号O，o，～149

第4章杂例151

第5章 一个连续变量的函数之极限，连续函数和不连续函数159

90.x趋向∞时的极限159

91.当x趋向-∞时的极限161

92.与第4章第63～69节的结论相对应的定理161

93.当x趋向0时的极限161

94.当x趋向a时的极限163

95.递增以及递减的函数164

96.不定元的极限以及收敛原理164

97.不定元的极限以及收敛原理（续）166

98.符号O，o，～：小量和大量的阶169

99.一个实变量的连续函数171

100.一个实变量的连续函数（续）172

101.连续函数的基本性质175

102.连续函数的进一步的性质177

103.连续函数的取值范围178

104.函数在区间中的振幅179

105.第103节定理2的另外的证明180

106.直线上的区间集合，Heine-Borel定理181

107.连续函数的振幅183

108.多元连续函数184

109.隐函数185

110.反函数187

第5章杂例189

第6章 导数和积分193

111.导数或者微分系数193

112.某些一般性的注解194

113.某些一般性的注解（续）197

114.微分法的某些一般法则198

115.复函数的导数200

116.微分学的记号200

117.标准形式202

118.有理函数204

119.代数函数206

120.超越函数207

121.高阶导数210

122.关于导数的某些一般性的定理213

123.极大和极小215

124.极大和极小（续）216

125.极大和极小（续）217

126.中值定理223

127.中值定理（续）225

128.Cauchy中值定理225

129.Darboux的一个定理226

130.积分226

131.实际的积分问题228

132.多项式229

133.有理函数230

134.有理函数的实际积分法的注记233

135.代数函数234

136.换元积分法和有理化积分法234

137.与圆锥曲线有关的积分235

138.积分？236

139.积分？236

140.积分？237

141.分部积分237

142.一般的积分？其中y2＝ax2＋26x＋c240

143.超越函数243

144.以x的倍数的余弦以及正弦为变量的多项式244

145.积分？以及与之相关联的积分244

146.cos x和sin x的有理函数245

147.包含arcsin x， arctan x以及log x的积分247

148.平面曲线的面积248

149.平面曲线的长度249

第6章杂例252

第7章 微分学和积分学中另外一些定理265

150.更高阶的中值定理265

151.Taylor定理的另一形式269

152.Taylor级数271

153.Taylor定理的应用，A.极大与极小273

154.B.某些极限的计算273

155.C.平面曲线的切触276

156.多元函数的微分法280

157.二元函数微分法282

158.二元函数的微分（续）284

159.二元函数的中值定理285

160.微分287

161.定积分和面积292

162.定积分294

163.圆的扇形面积，三角函数295

164.由定积分的和式极限的定义计算定积分298

165.定积分的一般性质299

166.分部积分法和换元积分法303

167.用分部积分法证明Taylor定理306

168.余项的Cauchy形式对于二项级数的应用307

169.定积分的近似公式，Simpson公式308

170.单实变复函数的积分310

第7章杂例311

第8章 无穷级数和无穷积分的收敛性322

171.引言322

172.正项级数322

173.正项级数（续）323

174.这些判别法的首批应用323

175.比值判别法323

176.一个重要定理326

177.正项级数的乘法327

178.进一步的收敛与发散判别法328

179.Abel（或者Pringsheim）定理329

180.Maclaurin（或者Cauchy）积分判别法330

181.级数∑n-s332

182.Cauchy并项判别法334

183.进一步的比值判别法334

184.无穷积分335

185.φ（x）取正值的情形337

186.换元积分法以及分部积分法对无穷积分的应用339

187.其他类型的无穷积分342

188.其他类型的无穷积分（续）344

189.其他类型的无穷积分（续）348

190.有正负项的级数349

191.绝对收敛的级数350

192.Dirichlet定理对绝对收敛级数的推广351

193.条件收敛的级数352

194.条件收敛级数的收敛判别法352

195.交错级数353

196.Abel收敛判别法与Dirichlet收敛判别法356

197.复数项级数358

198.幂级数359

199.幂级数（续）360

200.幂级数的收敛域，收敛圆360

201.幂级数的唯一性362

202.级数的乘法363

203.绝对收敛和条件收敛的无穷积分365

第8章杂例366

第9章 单实变对数函数、指数函数和三角函数376

204.引言376

205.log x的定义377

206.log x所满足的函数方程378

207.当x趋向无穷时log x趋向无穷的方式379

208.当x→∞时x-αlog x→0的证明380

209.当x→＋0时log x的性状380

210.无穷大的尺度，对数尺度380

211.数e382

212.指数函数383

213.指数函数的主要性质384

214.一般的幂ax385

215.ex表示为极限386

216.log x表示成极限388

217.常用对数388

218.级数和积分收敛的对数判别法394

219.与指数函数以及对数函数有关的级数，用Taylor定理展开ex399

220.对数级数402

221.反正切函数的级数403

222.二项级数406

223.建立指数函数和对数函数理论的另一种方法408

224.三角函数的解析理论410

225.三角函数的解析理论（续）412

226.三角函数的解析理论（续）414

第9章杂例415

第10章 对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论425

227.单复变函数425

228.单复变函数（续）426

229.实的和复的曲线积分426

230.Log？的定义427

231.Log？的值428

232.指数函数432

233.exp？的值433

234.exp？所满足的函数方程433

235.一般的幂a？434

236.a？的一般的值435

237.正弦和余弦的指数的值438

238.sin？和cos？对于？的所有值的定义438

239.推广的双曲函数439

240.与cos（？＋i？）， sin（？＋i？）等有关的公式440

241.对数函数与反三角函数之间的联系443

242.exp z的幂级数445

243.cosz和sin z的幂级数446

244.对数级数448

245.对数级数（续）449

246.对数级数的某些应用，指数极限452

247.二项定理的一般形式453

第10章杂例456

附录1 H？lder不等式和Minkowski不等式465

附录2每个方程都有一个根的证明471

附录3关于二重极限问题的一个注记478

附录4分析与几何中的无穷481

索引483