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目录1

第一章　实数理论1

§1　绪论1

1.1　引言1

1.2　公理化方法5

1.3　记号7

§2　从自然数到实数9

2.1　自然数9

2.2　归纳定义法15

2.3　皮亚诺公理系统的讨论18

2.4　整数环21

2.5　有理数域26

2.6　实数的分划模型28

2.7　实数的基本序列模型33

2.8　小结37

§3　实数的公理系统39

3.1　实数公理系统39

3.2　从实数系中析出自然数系41

3.3　有理数与无理数44

3.4　阿几米德性质47

3.5　实数空间50

3.6　连续公理的等价命题51

3.7　实数公理系统的讨论56

1.1　极限概说58

第二章　极限理论58

§1　实数空间上极限的一般理论58

1.2　极限的三种基本类型61

1.3 有向集65

1.4　有向变量的极限68

1.5　推广73

§2　拓扑空间与收敛75

2.1　拓扑空间76

2.2　拓扑空间上有向变元的收敛79

2.3　收敛与拓扑82

2.4　滤子与滤子的收敛86

1.1　超滤子91

§1　超实数域91

第三章　超实数域91

1.2　超实数域94

1.3　超实数的性质98

§2　非标准分析102

2.1　标准对象与非标准对象103

2.2　非标准定义105

2.3　非标准证明107

第四章　欧几里得空间与测度109

§1　欧几里得空间以及线段的度量109

1.1 欧几里得——希尔伯特公理系统109

1.2　线段的度量111

1.3　解析几何117

1.4　欧几里得空间121

1.5　Rn的几何124

§2　约当测度125

2.1　简单图形的体积126

2.2　外体积与内体积128

2.3　约当测度131

§3　曲线的长度137

3.1 曲线137

3.2　曲线的长度139

3.3　弧长定义的合理性142

3.4　曲面面积 　146

3.5　勒贝格测度及其他147

第五章　初等超越函数149

§1　实数域上的初等超越函数149

1.1　用积分定义对数函数与指数函数149

1.2　用积分定义三角函数154

1.3　用微分方程定义三角函数159

§2　复数域上的初等超越函数162

2.1　复数域163

2.2　指数函数164

第六章　积分表为有限形式问题168

§1　初等函数168

1.1　解析延拓169

1.2　结式172

1.3　代数函数174

1.4　代数函数的指数176

1.5　代数函数的对数178

1.6　代数组合179

1.7　初等函数180

1.8　初等函数的结构182

1.9　初等函数的代数组合的性质185

1.10　刘维尔原理188

1.11　初等函数的导数190

§2　代数函数的积分192

2.1　刘维尔定理193

2.2　阿贝尔定理200

2.3　阿贝尔定理的推论203

2.4　残数与积分205

2.5　椭圆积分207

2.6　切比雪夫积分210

§3　超越函数的积分212

3.1　在微分域上初等的函数213

3.2　微分域的扩张214

3.3　刘维尔-奥斯特鲁斯基定理215

3.4　阿贝尔定理的一般化217

3.5　初等函数的积分220

3.6　指数函数与代数函数之积的积分221

3.7　？的积分225