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引言1

第一篇 结构数学基础8

1 19世纪数学的遗产8

1.1 18世纪末之前的数学9

1.2 19世纪的数学19

2 19世纪末的数学基础研究44

2.1 几何学基础与公理化44

2.2 实数理论51

2.3 集合论56

2.4 数理逻辑62

3 数学结构的基本概念78

3.1 数学结构78

3.2 集合与映射80

3.3 序结构83

3.4 代数结构84

3.5 拓扑结构90

3.6 复合结构91

3.7 多重结构93

3.8 混合结构95

3.9 衍生结构96

4 20世纪数学一瞥103

4.1 结构的产生与结构数学的兴趣104

4.2 抽象代数学106

4.3 一般拓扑学与泛函分析118

4.4 经典数学123

5 一些基本的数学结构132

5.1 域132

5.2 拓扑空间146

5.3 点集纲性与测试167

5.4 希尔伯特空间176

5.5 巴拿赫空间183

第二篇 群论194

1 群论的历史渊源与理论框架194

1.1 群论概念的产生194

1.2 从对称性到群196

1.3 从具本群到抽象群203

1.4 群论的理论框架207

2 阿贝尔群211

3 有限置换群220

3.1 置换群的表示220

3.2 置换群的一些基本概念222

3.3 可迁群与k重可迁群224

3.4 2重可迁群的分数229

4 有限群234

4.1 群的列举237

4.2 群的基本结构240

4.3 算术结构245

4.4 有限幂零群和可解群250

4.5 有限单群255

4.6 群表示论287

5 无限群297

5.1 自由群与自由积299

5.2 有限表出群304

5.3 伯恩塞德问题309

5.4 无限幂零群和可解群312

6 李群317

6.1 李群的发展历史317

6.2 李变换群321

6.3 基灵和嘉当的工作330

6.4 李代数理论334

6.5 整体李群341

7 代数群347

第三篇 拓扑学358

1 导言358

2 直观拓扑学361

2.1 哥尼斯堡七桥问题361

2.2 平面布线问题362

2.3 多面体的欧拉公式362

2.4 若尔当定理364

2.5 单侧曲面365

2.6 曲面的拓扑分类368

2.7 四色问题371

3 拓扑学的早期历史373

4 同调理论379

4.1 复合形与同调群379

4.2 奇异同调论387

4.3 同调论公理390

4.4 上同调理论392

4.5 不动点定理398

4.6 拓扑K理论400

5 同伦理论403

5.1 引言403

5.2 同伦论前史405

5.3 映射度409

5.4 同伦群414

5.5 组合同伦群423

5.6 球面同伦群433

5.7 阻碍理论440

6 纤维空间和纤维丛443

6.1 前史443

6.2 定义446

6.3 纤维丛的引入451

6.4 纤维丛的分类问题453

6.5 示性类455

7.微分流形464

7.1 微分流形的引入464

7.2 配边理论470

8 低维流形475

8.1 三维流形475

8.2 纽结理论480

8.3 四维流形的拓扑487

9 范畴与函子492

9.1 范畴492

9.2 函子497

10 同调代数学499

10.1 模500

10.2 导出函子502

第四篇 几何学与数论507

1 微分流形的几何学507

1.1 微分流形507

1.2 微分流形的基础结构509

1.3 微分流形的上层结构510

1.4 微分流形的几何结构513

2 大范围分析520

2.1 德·拉姆理论522

2.2 莫尔斯理论526

2.3 微分映射的奇点理论529

2.4 指标定理533

2.5 叶状结构537

3 复解析几何学545

3.1 多复变函数论545

3.2 复流形550

4 代数几何学555

4.1 前史555

4.2 抽象代数几何学558

4.3 代数曲线565

4.4 代数曲面570

5 代数数论575

5.1 代数整数论577

5.2 结构理论583

5.3 解析理论590

5.4 几何理论597

结束语606

参考文献613