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第一章 多元函数微分学1

1 多元函数的概念1

一、多元函数的概念1

二、平面区域3

三、二元函数的几何意义7

习题1-17

2 多元函数的极限与连续8

一、二元函数的极限8

二、二元函数的连续性10

三、有界闭区域上二元连续函数的性质12

四、二次极限13

习题1-214

3 偏导数15

一、偏导数的定义15

二、二元函数偏导数的几何意义17

三、偏导数与连续的关系18

习题1-320

4 全微分20

一、全微分的概念20

二、全微分的运算法则25

5 多元复合函数的求导法则26

一、链式法则26

习题1-426

二、全微分的形式不变性31

习题1-532

6 隐函数的导数32

一、一个方程的情形33

二、方程组的情形36

习题1-638

7 高阶偏导数，高阶微分及泰勒公式39

一、高阶偏导数39

二、高阶微分43

三、多元泰勒公式46

习题1-748

8 方向导数49

一、方向导数的概念49

二、方向导数的计算51

习题1-854

第二章 多元函数微分学的应用56

1 曲线的切线和法平面方程56

习题2-159

2 曲面的切平面和法线方程59

一、曲面的切平面与法线59

二、二元函数全微分的几何意义62

3 平面曲线族的包络63

习题2-263

习题2-367

4 多元函数的极值67

一、极值67

二、最大值和最小值70

三、条件极值72

习题2-476

第三章 多元函数积分学77

1 Rn(n≤3)中的黎曼积分77

一、Rn(n≤3)中的一类数学模型77

二、黎曼积分的概念80

三、黎曼积分的性质82

习题3-186

2 二重积分的计算86

一、直角坐标系下的二重积分87

二、二重积分的换元法92

三、利用极坐标计算二重积分95

习题3-298

3 三重积分的计算99

一、直角坐标系下的三重积分99

二、三重积分的换元法102

三、柱面坐标系下的三重积分104

四、球面坐标系下的三重积分106

习题3-3108

4 广义重积分109

一、无界区域上的二重积分109

二、含瑕点的二重积分112

习题3-4113

5 对弧长的曲线积分和对面积的曲面积分的计算113

一、对弧长的曲线积分的计算113

二、对面积的曲面积分的计算116

习题3-5120

6 多元函数积分学在几何和物理中的应用120

一、面积121

二、体积128

三、弧长132

四、质量133

五、重心135

习题3-6138

第四章 对坐标的曲线积分和曲面积分140

1 对坐标的曲线积分140

一、对坐标的曲线积分140

二、对坐标的曲线积分的计算142

三、对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分之间的联系146

习题4-1147

一、格林公式148

2 格林公式148

二、平面曲线积分与路径无关的条件152

二、原函数与全微分方程156

习题4-2160

3 对坐标的曲面积分161

一、有向曲面161

二、对坐标的曲面积分162

三、对坐标曲面积分的计算164

四、两类曲面积分之间的联系168

习题4-3168

一、高斯公式169

4 高斯公式与斯托克斯公式169

二、斯托克斯公式173

习题4-4177

第五章 向量函数及场论178

1 向量函数的极限和连续性178

一、向量函数178

二、向量函数的极限179

三、向量函数的连续性179

四、终端曲线和曲面180

2 向量函数的导数和积分181

一、向量函数的导数和偏导数181

习题5-1181

二、向量函数的微分184

三、一元向量函数的定积分187

习题5-2189

3 数量场及其物理量189

一、数量场189

二、数量场的梯度190

习题5-3192

4 向量场及其物理量193

一、向量场193

二、通量与散度195

三、环量与旋度196

四、几种重要的向量场198

习题5-4201

第六章 含参变量的积分202

1 含参变量的积分202

习题6-1208

2 含参变量的广义积分208

习题6-2213

3 Г函数和В函数214

一、Г函数214

二、В函数217

习题6-3219

一、周期为2π的函数的傅里叶级数展开220

第七章 傅里叶级数与积分变换220

1 傅里叶级数220

二、函数的周期性延拓225

三、周期为T的函数的傅里叶级数展开228

习题7-1230

2 傅里叶变换231

一、傅里叶积分231

二、傅里叶变换234

三、单位脉冲函数236

四、傅里叶变换的性质238

习题7-2240

一、拉普拉斯变换的定义241

3 拉普拉斯变换241

二、拉普拉斯变换的性质245

三、拉普拉斯逆变换的求法248

四、常微分方程的拉普拉斯变换解法250

习题7-3252

第八章 偏微分方程255

1 方程的导出和基本概念255

一、几个典型方程的导出255

二、偏微分方程的基本概念和分类258

三、方程的定解条件259

习题8-1260

一、弦振动方程的混合问题261

2 分离变量法261

二、一维热传导方程的混合问题265

三、非齐次边界条件266

四、非齐次方程(齐次边界条件)267

习题8-2269

3 积分变换法270

一、傅里叶变换在求解定解问题的应用270

二、拉普拉斯变换在求解定解问题的应用273

习题8-3274

4 特征线法--达朗贝尔公式274

一、特征方程和特征线274

二、无界弦的自由振动、达朗贝尔公式275

三、半无界弦的自由振动、对称延拓法276

四、无界弦的强迫振动、齐次化原理278

习题8-4279

5 格林函数280

一、格林公式与基本解280

二、格林函数282

习题8-5285

附录1 傅里叶变换简表286

附录2 拉普拉斯变换简表290

习题答案294