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第1章 初等数论1

1.1导言1

1.1.1数论概述1

1.1.2数论的应用11

1.1.3代数初步12

1.2可除性理论18

1.2.1可除性的基本概念及性质18

1.2.2算术基本定理23

1.2.3梅森素数与费马数27

1.2.4欧几里得算法35

1.2.5连分数38

1.3丢番图方程45

1.3.1丢番图方程的基本概念45

1.3.2线性丢番图方程46

1.3.3Pell方程49

1.4算术函数56

1.4.1可积函数56

1.4.2函数τ（n）、σ（n）和s（n）58

1.4.3完全数、亲和数与多亲数61

1.4.4函数φ（n）、λ（n）和μ（n）69

1.5素数分布74

1.5.1素数分布函数π（x）74

1.5.2用x/1nx逼近π（x）76

1.5.3用Li（x）逼近π（x）81

1.5.4黎曼ζ-函数ζ（s）83

1.5.5第n个素数90

1.5.6孪生素数分布92

1.5.7素数项算术级数95

1.6同余理论96

1.6.1同余的基本概念与性质96

1.6.2模运算101

1.6.3线性同余方程105

1.6.4中国剩余定理111

1.6.5高阶同余方程114

1.6.6勒让德和雅可比符号119

1.6.7阶和原根129

1.6.8指数和k次剩余134

1.7椭圆曲线的算术理论137

1.7.1椭圆曲线的基本概念138

1.7.2椭圆曲线的几何复合定律139

1.7.3椭圆曲线的代数计算定律140

1.7.4椭圆曲线上的群定律144

1.7.5椭圆曲线上点的个数144

1.8小结146

第2章 计算数论／算法数论148

2.1简介148

2.1.1计算／算法数论概述148

2.1.2计算可行性151

2.1.3计算复杂性154

2.1.4数论算法的复杂性160

2.1.5快速模指数算法165

2.1.6椭圆曲线上的快速群运算167

2.2素性检测算法171

2.2.1确定性的严格素性检测172

2.2.2费马的拟素性检测174

2.2.3强拟素性检测176

2.2.4卢卡斯拟素性检测181

2.2.5椭圆曲线检测187

2.2.6关于素性检测历史的小结189

2.3整数因子分解算法191

2.3.1整数因子分解的复杂性理论192

2.3.2试除法和费马方法195

2.3.3勒让德同余197

2.3.4连分数法199

2.3.5二次筛法和数域筛法202

2.3.6Pollard的“rho”方法和“p—1”方法205

2.3.7Lenstra的椭圆曲线方法211

2.4离散对数问题的算法213

2.4.1Shanks的小步-大步算法214

2.4.2Silver-Pohlig-Hellman算法217

2.4.3离散对数的指数演算法220

2.4.4椭圆曲线离散对数问题的算法222

2.4.5求根问题的算法226

2.5量子数论算法228

2.5.1量子信息和计算228

2.5.2量子可计算性和复杂性232

2.5.3整数因子分解的量子算法233

2.5.4离散对数的量子算法237

2.6数论中的各式算法238

2.6.1计算π（x）的算法239

2.6.2生成亲和数的算法243

2.6.3验证哥德巴赫猜想的算法245

2.6.4寻找奇完全数的算法248

2.7小结249

第3章 计算／密码学中的应用数论251

3.1研究应用数论的意义251

3.2计算机系统设计252

3.2.1剩余系中数的表示253

3.2.2剩余数系中的快速计算255

3.2.3剩余计算机259

3.2.4余运算260

3.2.5哈希函数264

3.2.6检错和纠错方法266

3.2.7随机数的生成270

3.3密码学和信息安全275

3.3.1介绍276

3.3.2私钥密码学277

3.3.3数据／高级加密标准286

3.3.4公钥密码学289

3.3.5基于离散对数的密码体制293

3.3.6公钥密码体制296

3.3.7二次剩余密码体制308

3.3.8椭圆曲线公钥密码体制313

3.3.9数字签名318

3.3.10数字签名标准324

3.3.11数据库安全326

3.3.12秘密共享330

3.3.13因特网／环球网安全和电子商务333

3.3.14隐写术337

3.3.15量子密码学338

3.4小结339

参考文献341