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第一篇　必修内容3

第一章　微积分的基础和研究对象3

1　微积分的基础——集合、实数和极限3

1.1　从牛顿的流数法和第二次数学危机谈起3

1.2　极限、实数、集合在微积分中的作用4

1.3　实数系的建立及邻域概念5

2　微积分的研究对象——函数7

2.1　变量相依关系的数学模型——函数8

2.2　逆向思维一例——反函数10

2.3　基本初等函数11

2.4　复合函数13

2.5　初等函数的含义14

2.6　MM能力培养15

阅读材料（1）　数学思想方法简介18

悖论浅谈18

阅读材料（2）　数学家简介20

（一）数学之神——阿基米德20

（二）双目失明的数学家——欧拉21

习题一22

第二章　微积分的直接基础——极限24

1　从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列极限25

1.1　数列的概念25

1.2　数列极限的定性描述26

1.3　数列极限的定量描述27

1.4　数列极限中蕴含的辩证思想31

2　函数极限31

2.1 自变量x无限趋近于有限数x0时的情形31

2.2　左极限和右极限34

2.3 自变量x的绝对值无限增大时的情形34

2.4　函数极限的性质35

2.5　无穷大量与无穷小量36

2.6　极限的四则运算38

2.7　两个重要的极限公式40

3　极限应用的一个例子——连续函数41

3.1　连续函数的概念41

3.2　连续函数求极限的法则43

3.3　初等函数的连续性44

3.4　闭区间上连续函数的性质46

阅读材料（1）　数学思想方法简介48

数学思维48

阅读材料（2）　数学家简介50

我国古代伟大数学家——祖冲之50

习题二51

第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分54

1　函数的局部变化率——导数55

1.1　抽象导数概念的两个现实原型55

1.2　导数概念57

1.3　求导过程的哲学分析60

1.4　左导数和右导数61

1.5　函数的连续性与可导性之间的关系61

1.6　高阶导数的概念62

2　求导数的方法——法则与公式63

2.1　求导法则63

2.2　基本初等函数的求导公式67

3　局部改变量的估值问题——微分及其运算69

3.1　微分69

3.2　微分公式和法则71

3.3　微分在近似计算中的应用72

阅读材料（1）　数学思想方法简介73

数学抽象73

阅读材料（2）　数学家简介75

科学巨擘——牛顿75

习题三78

第四章　导数的应用问题——洛必达法则、函数的性质和图像80

1　联结局部与整体的纽带——中值定理80

1.1 费马定理81

1.2　中值定理（拉格朗日）82

2　计算不定式极限的一般方法——洛必达法则83

2.1　两个基本类型不定式83

2.2　其他类型的不定式85

3　用导数研究函数的性质——单调性、极值和最大最小值86

3.1　函数的单调性86

3.2　函数的极值87

3.3　函数的最大值和最小值89

4　利用导数研究函数的图像——曲线的绘制91

4.1 曲线的弯曲方向——凹凸性91

4.2　利用导数绘制函数的图像91

阅读材料（1）　数学思想方法简介94

数学构造法94

阅读材料（2）　数学家简介96

业余数学家之王——费马96

习题四97

第五章　微分的逆运算问题——不定积分99

1　逆向思维又一例——原函数与不定积分99

1.1　原函数与不定积分的概念99

1.2　基本积分公式102

1.3　不定积分的线性运算法则103

2　矛盾转化法——换元积分法与分部积分法104

2.1　换元积分法104

2.2　分部积分法109

阅读材料（1）　数学思想方法简介111

关系映射反演方法111

阅读材料（2）　数学家简介112

符号大师——莱布尼茨112

习题五114

第六章 求总量的问题——定积分115

1　特殊和式的极限——定积分的概念115

1.1　抽象定积分概念的两个现实原型115

1.2　定积分的概念117

1.3　求定积分过程中的辩证思维118

1.4　可积条件119

1.5　定积分的性质119

2　计算定积分的一般方法——微积分基本定理121

2.1　微积分基本定理122

2.2　定积分的换元积分法和分部积分法123

3　定积分的拓展——非正常积分125

4　定积分魅力的显示——在若干学科中的应用126

4.1　微元法127

4.2　在几何学中的应用127

4.3　在物理学中的应用——变力作功130

阅读材料（1）　数学思想方法简介130

数学模型方法130

阅读材料（2）　数学家简介132

微积分学在中国的最早传播人——李善兰132

习题六133

第七章　偶然中蕴含必然的问题——概率统计初步135

1　研究偶然现象的基本元素——随机事件136

1.1　随机现象及其描述136

1.2　事件的关系及运算137

2　偶然中的必然——概率139

2.1　概率的定义139

2.2　条件概率142

2.3　全概率公式和贝叶斯公式145

3　随机现象的函数化——随机变量146

3.1　随机变量的概念146

3.2　离散型随机变量147

3.3　连续型随机变量149

4　随机现象平均特征的描述——期望值155

4.1　期望值的概念155

4.2　期望值的性质157

5　随机现象离散程度的描述——方差157

5.1　方差的概念157

5.2　标准差的概念159

5.3　方差的性质159

6　收集、整理和分析数据的方法——统计159

6.1　总体和样本160

6.2　统计量和统计量的分布161

7　由部分刻画整体的方法——统计推断162

7.1　参数估计162

7.2　假设检验163

8　建立线性函数的实验方法——一元线性回归分析164

8.1　一元线性回归方程的建立165

8.2　回归方程的显著性研究166

阅读材料（1）　数学思想方法简介166

观察与实验166

阅读材料（2）　数学家简介169

早期研究平均值的科学家——帕斯卡169

习题七170

第二篇　选修内容175

第八章　处理线性关系的数学问题——线性代数概述175

1　一种特殊数——行列式176

1.1　行列式的定义176

1.2　行列式的性质178

2　线性方程组的解法181

2.1　克拉默法则181

2.2　消元法182

3　应用广泛的数表——矩阵185

3.1　矩阵的概念185

3.2　矩阵的运算185

3.3　矩阵的应用190

阅读材料（1）　数学思想方法简介192

数学美学方法192

阅读材料（2）　数学家简介195

数学王子——高斯195

习题八196

第九章 含变化率的方程问题——微分方程浅说198

1　微分方程初识——一般概念199

1.1　例子199

1.2　一般概念200

1.3　微分方程及其解的几何解释201

2　特殊类型微分方程的解法——初等积分法202

2.1　分离变量法202

2.2　可化为变量分离方程的方程204

2.3　一阶线性微分方程206

3　几个有趣的实例——若干应用模型208

3.1　单种群模型与人口问题208

3.2　遗体死亡年代测定问题210

3.3　刑事侦察中死亡时间的鉴定问题210

3.4　学习过程模型211

阅读材料（1）　数学思想方法简介211

数学推理和数学证明211

阅读材料（2）　数学家简介214

数学领域里的一座高耸的金字塔——拉格朗日214

习题九215

第十章 一元微积分的推广——二元微积分概要216

1　二元函数微积分的预备知识216

1.1　解析几何的思想方法217

1.2　空间直角坐标系218

1.3　空间曲面与代数方程220

1.4　空间曲线与代数方程221

1.5　用代数方法研究二次曲面222

2　二元函数的极限与连续性223

2.1　二元函数的概念223

2.2　二元函数的极限225

2.3　二元函数的连续性226

3　偏导数与全微分226

3.1　偏导数及其计算226

3.2　全微分228

4　复合函数微分法229

5　二元函数的极值231

6　二重积分的概念与计算232

6.1　二重积分的概念与性质232

6.2　二重积分的计算234

阅读材料（1）　数学思想方法简介237

数学与创造237

阅读材料（2）　数学家简介239

（一）追求新几何的数学家——笛卡儿239

（二）自学成才的数学大师——华罗庚240

习题十242

附录一 习题参考答案244

附录二　三个数表253

（一）标准正态分布函数值表253

（二）x2分布临界值表255

（三）相关系数临界值表257

参考文献258