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第1章 整数1

1．1 交换环·整环1

1．2 交换环的基本性质2

1．3 有序整环的性质7

1．4 良序原则9

1．5 数学归纳法·指数定律10

1．6 可除性13

1．7 欧几里得算法14

1．8 算术基本定理18

1．9 同余式20

1．10 环Z23

1．11 集合·函数·关系26

1．12 同构与自同构29

第2章 有理数和域31

2．1 域的定义31

2．2 有理数域的构造35

2．3 联立线性方程39

2．4 有序域43

2．5 正整数公设45

2．6 皮亚诺公设48

第3章 多项式52

3．1 多项式形式52

3．2 多项式函数55

3．3 交换环的同态59

3．4 多元多项式61

3．5 辗转相除法63

3．6 单位与相伴65

3．7 不可约多项式67

3．8 唯一因子分解定理69

3．9 其他唯一因子分解整环72

3．10 爱森斯坦不可约判别准则76

3．11 部分分式78

第4章 实数82

4．1 毕达哥拉斯二难推论82

4．2 上界与下界83

4．3 实数公设85

4．4 多项式方程的根87

4．5 戴德金分割90

第5章 复数94

5．1 复数的定义94

5．2 复平面96

5．3 代数基本定理99

5．4 共轭数与实多项式102

5．5 二次方程与三次方程104

5．6 四次方程的根式解法106

5．7 稳定型方程107

第6章 群109

6．1 正方形的对称109

6．2 变换群111

6．3 其他例子115

6．4 抽象群117

6．5 同构120

6．6 循环群123

6．7 子群126

6．8 拉格朗日定理128

6．9 置换群131

6．1 0偶置换与奇置换134

6．1 1同态136

6．1 2自同构·共轭元素138

6．1 3商群141

6．1 4等价关系与同余关系144

第7章 向量与向量空间147

7．1 平面向量147

7．2 推广148

7．3 向量空间与子空间150

7．4 线性无关与维数153

7．5 矩阵与行等价157

7．6 线性相关的检验159

7．7 向量方程·齐次方程163

7．8 基与坐标系167

7．9 内积172

7．10 欧几里得向量空间174

7．11 标准正交基177

7．12 商空间179

7．13 线性函数与对偶空间181

第8章 矩阵代数186

8．1 线性变换与矩阵186

8．2 矩阵加法192

8．3 矩阵乘法193

8．4 对角矩阵·置换矩阵·三角形矩阵198

8．5 长方矩阵201

8．6 逆矩阵205

8．7 秩与零度210

8．8 初等矩阵212

8．9 等价与标准型216

8．10 双线性函数与张量积218

8．11 四元数222

第9章 线性群226

9．1 基的变换226

9．2 相似矩阵与特征向量228

9．3 全线性群与仿射群233

9．4 正交群与欧几里得群236

9．5 不变量与标准型240

9．6 线性型与双线性型242

9．7 二次型245

9．8 全线性群之下的二次型247

9．9 全线性群之下的实二次型250

9．10 正交群之下的二次型252

9．11 仿射群和欧几里得群之下的二次型256

9．12 酉矩阵与埃尔米特矩阵260

9．13 仿射几何263

9．14 射影几何270

第10章 行列式与标准型275

10．1 行列式的定义和基本性质275

10．2 行列式的乘积279

10．3 作为体积的行列式282

10．4 特征多项式286

10．5 极小多项式290

10．6 凯莱-哈密顿定理294

10．7 不变子空间与可约性295

10．8 第一分解定理299

10．9 第二分解定理301

10．10 有理标准型与若当标准型304

第11章 布尔代数与格307

11．1 基本定义307

11．2 定律：同算术定律类比308

11．3 布尔代数310

11．4 其他基本定律的推导313

11．5 布尔多项式的标准型315

11．6 半序318

11．7 格320

11．8 集合表示323

第12章 超限算术327

12．1 数与集合327

12．2 可数集329

12．3 其他基数331

12．4 基数的加法与乘法334

12．5 取幂335

第13章 环与理想338

13．1 环338

13．2 同态341

13．3 商环345

13．4 理想的代数347

13．5 多项式理想350

13．6 线性代数中的理想353

13．7 环的特征355

13．8 域的特征357

第14章 代数数域359

14．1 代数扩张与超越扩张359

14．2 域上的代数元素361

14．3 根的添加363

14．4 次数与有限扩张365

14．5 多重代数扩张368

14．6 代数数371

14．7 高斯整数374

14．8 代数整数377

14．9 代数整数的和与积379

14．10 二次代数整数的因子分解381

第15章 伽罗瓦理论385

15．1 方程的根域385

15．2 唯一性定理387

15．3 有限域388

15．4 伽罗瓦群391

15．5 可分多项式与不可分多项式395

15．6 伽罗瓦群的性质397

15．7 子群与子域399

15．8 三次不可约方程402

15．9 五次方程的不可解性406

参考文献410

数学符号表413

索引416