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第一章 微分方程3

第一节 一阶线性微分方程及其解法3

一、关于微分方程的一些基本知识3

二、一阶线性微分方程5

三、求解非齐次微分方程特解的一般方法10

四、微分方程的几种解法11

五、一阶微分方程的相位图及动态稳定性14

第二节 二阶线性微分方程16

一、高阶线性微分方程求解的理论基础16

二、二阶非齐次线性微分方程的形式及特殊积分18

三、二阶非齐次线性微分方程的余函数19

四、二阶非齐次线性微分方程的通解21

五、动态稳定性分析22

六、具有可变项的二阶线性微分方程24

第三节 微分方程的简化处理26

一、二阶微分方程化为一阶微分方程组26

二、非线性微分方程的线性近似27

三、对数线性化（对数线性近似）27

附录：将余函数的指数形式转化为三角函数形式30

第二章 微分方程组33

第一节 一阶线性微分方程组33

一、线性微分方程组求解的基础理论33

二、一阶线性微分方程组35

三、一般一阶线性微分方程组45

第二节 线性微分方程组的动态稳定性48

一、动态稳定性分析的一些基础概念48

二、均衡的分类50

三、均衡动态稳定性的条件53

四、鞍点均衡及其动态稳定性55

五、一般线性微分方程组的动态稳定性58

第三节 一阶非线性微分方程组59

一、非线性微分方程组的相位图分析59

二、非线性微分方程组线性化及局部稳定性61

第三章 差分方程65

第一节 一阶线性差分方程65

一、差分方程及相关概念65

二、一阶常系数常数项线性差分方程66

三、一阶常系数可变项线性差分方程69

四、一阶线性差分方程的前向解、后向解70

五、一阶线性差分方程的动态稳定性72

六、一阶非线性差分方程75

第二节 二阶线性差分方程76

一、高阶线性差分方程求解的理论基础76

二、二阶线性差分方程及其特殊积分78

三、二阶线性差分方程的余函数与通解79

四、二阶线性差分方程的动态稳定性80

五、具有可变项的二阶线性差分方程81

第三节 线性差分方程与滞后算子82

一、时间序列算子与滞后算子82

二、一阶线性差分方程的滞后算子解法84

三、二阶线性差分方程的滞后算子解法86

四、n阶线性差分方程的滞后算子解法90

第四节 线性随机差分方程92

一、线性随机差分方程93

二、协方差生成函数与谱密度函数的计算公式95

三、一阶线性随机差分方程98

四、二阶线性随机差分方程100

第五节 线性条件期望差分方程102

一、线性条件期望差分方程概述102

二、一阶线性条件期望差分方程103

三、二阶线性条件期望差分方程105

附录一：随机过程简介108

一、随机过程108

二、随机过程的数字特征110

三、马尔可夫链与马尔可夫过程112

附录二：鞅理论113

一、鞅的含义113

二、鞅差序列115

附录三：时间序列分析与白噪声过程116

一、时间序列分析116

二、白噪声过程116

三、平稳时间序列的线性模型117

四、单位根过程与随机游走过程119

附录四：协方差生成函数和谱密度函数120

一、平稳随机过程的自协方差生成函数120

二、平稳随机过程的谱密度函数122

三、互协方差生成函数和互谱密度函数125

附录五：傅立叶变换128

一、序列傅立叶变换129

二、Z变换130

第四章 差分方程组132

第一节 一阶线性差分方程组132

一、一阶线性差分方程组133

二、一般一阶线性差分方程组138

第二节 差分方程组的动态稳定性140

一、线性差分方程组的动态稳定性140

二、非线性差分方程组143

第五章 变分法149

第一节 动态最优化与变分法149

一、动态最优化与泛函149

二、泛函的变分152

三、泛函的极值与变分法153

四、欧拉方程：泛函极值的必要条件154

五、泛函极值的充分条件157

第二节 不同情形下的泛函极值158

一、欧拉方程的不同形式158

二、多变量下的欧拉方程159

三、可变端点下的泛函极值160

四、泛函极值的角点问题163

五、无限期界的泛函极值164

六、有约束的泛函极值166

附录一：用求导方法推导欧拉方程167

附录二：矩阵的主子式与顺序主子式168

附录三：海赛矩阵与海赛行列式170

第六章 最优控制论172

第一节 最优控制问题及其解法172

一、最优控制问题：变分法与极大值原理172

二、经济学中的最优控制论177

三、最优控制论必要条件的推导181

四、变分法与最优控制论最优性条件的等价性183

第二节 最优控制论的扩展184

一、不同边界条件的最优控制问题185

二、目标泛函含终值项的最优控制问题189

第三节 最优控制问题的经济学情形190

一、含贴现的最优控制问题190

二、无限期界的最优控制问题192

第四节 有约束的最优控制问题195

一、最优控制问题中约束条件的类型195

二、一般泛函的不等式约束196

三、积分泛函的等式约束197

第五节 离散时间的最优控制问题199

一、离散时间的最优控制问题199

二、含贴现的离散时间最优控制问题202

附录：含参变量积分及其求导204

第七章 动态规划207

第一节 确定性下的动态规划207

一、动态规划原理与贝尔曼方程207

二、离散系统有限期界的动态规划210

三、离散系统动态规划的经济学情形214

四、连续系统有限期界的动态规划217

五、连续系统动态规划的经济学情形219

第二节 随机动态规划221

一、离散系统随机动态规划的经济学情形221

二、布朗运动225

三、随机积分228

四、伊藤积分231

五、伊藤随机微分方程与伊藤引理232

六、连续系统有限期界的随机动态规划236

七、连续系统随机动态规划的经济学情形239

附录一：斯蒂尔切斯积分简介242

附录二：随机变量的数学期望及性质242

附录三：随机变量的条件期望及其性质244

附录四：随机变量函数的期望和条件期望245

第八章 线性二次型动态最优化247

第一节 线性二次型问题247

一、线性二次型问题及其优势248

二、线性二次型问题的三种情形251

三、经济学对线性二次型问题的应用252

第二节 线性二次型动态最优化254

一、连续定常系统的线性状态调节器问题254

二、离散定常系统的线性状态调节器问题261

三、离散系统贴现的线性状态调节器问题264

四、闭环系统的稳定性267

第三节 黎卡提方程的部分解法269

一、迭代法：逆向迭代269

二、迭代法：正向迭代270

三、用拉格朗日函数求解矩阵P271

附录一：分块矩阵的逆矩阵277

附录二：矩阵和向量的求导278

附录三：矩阵的迹函数求导280

第九章 卡尔曼滤波与随机线性二次型问题282

第一节 状态信息完全的随机线性状态调节器283

一、随机线性状态调节器的极大化问题283

二、用动态规划解随机线性状态调节器284

三、确定性等价原理286

第二节 线性最小方差估计与投影理论287

一、随机向量的正交、不相关和相互独立287

二、最优估计与最小方差估计290

三、线性最小方差估计291

四、线性最小方差估计的性质294

五、线性最小方差估计的经济学应用295

六、投影理论298

七、在变量自身的滞后值上的正交投影304

第三节 卡尔曼滤波与卡尔曼预测306

一、卡尔曼滤波的基本方程306

二、卡尔曼滤波基本方程的推导308

三、卡尔曼预测：最优估计的经济学应用313

第四节 含确定性控制的卡尔曼估计316

一、含确定性控制的卡尔曼滤波316

二、含确定性控制的卡尔曼预测321

三、含确定性控制噪声无关的卡尔曼估计321

四、稳态卡尔曼估计324

第五节 状态信息不完全的随机线性状态调节器326

一、随机线性状态调节器模型的基本假定326

二、用动态规划解随机线性状态调节器329

三、随机线性状态调节器的分离定理333

四、线性状态调节器的经济学应用：线性二次逼近334

附录：正态分布的随机向量（多元正态分布）338

参考文献344