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第一章 空间曲线1

1.1 预备知识1

习题1.17

1.2 曲线的概念7

1.2.1 曲线的一般概念8

1.2.2 弧长与弧长参数10

习题1.212

1.3 空间曲线的Frenet公式13

1.3.1 曲线的密切平面13

1.3.2 曲线的基本三棱形15

1.3.3 曲线的曲率和挠率19

1.3.4 空间曲线在一点附近的形状23

习题1.324

1.4 平面曲线的Frenet公式25

习题1.429

1.5 Frenet公式的运用30

1.5.1 渐伸线与渐缩线30

1.5.2 球面曲线34

1.5.3 Bertrand曲线35

1.5.4 一般螺线37

习题1.538

1.6 空间曲线论基本定理39

习题1.644

第二章 平面曲线的整体性质46

2.1 平面闭曲线的等周不等式46

习题2.150

2.2 平面曲线的旋转指标定理51

习题2.254

2.3 卵形线55

2.3.1 凸曲线56

2.3.2 四顶点定理57

2.3.3 支持函数59

习题2.364

第三章 曲面的局部理论66

3.1 曲面66

习题3.172

3.2 曲面的第一基本形式72

3.2.1 第一基本形式72

3.2.2 曲面的面积76

3.2.3 曲面上方向的夹角，正交网78

习题3.283

3.3 曲面的等距变换与保角变换83

3.3.1 等距变换84

3.3.2 保角变换87

习题3.389

3.4 曲面的第二基本形式89

3.4.1 曲面的第二基本形式89

3.4.2 法曲率93

3.4.3 渐近曲线98

习题3.4101

3.5 主方向与主曲率，Euler公式101

3.5.1 主方向与主曲率101

3.5.2 Euler公式106

习题3.5109

3.6 Gauss曲率110

3.6.1 Gauss曲率110

3.6.2 Gauss映射113

3.6.3 Gauss的绝妙定理115

习题3.6117

3.7 直纹面与可展曲面118

3.7.1 直纹面118

3.7.2 可展曲面121

习题3.7124

3.8 一些特殊曲面124

3.8.1 常Gauss曲率曲面124

3.8.2 极小曲面129

习题3.8133

3.9 曲面论基本定理133

3.9.1 曲面的基本方程135

3.9.2 曲面论基本定理139

习题3.9144

第四章 测地线与Gauss-Bonnet公式146

4.1 曲面上的测地线146

4.1.1 测地曲率146

4.1.2 测地线150

4.1.3 曲面上的半测地坐标网154

习题4.1157

4.2 Gauss-Bonnet公式157

4.2.1 平面闭曲线的旋转指标158

4.2.2 Gauss-Bonnet公式160

习题4.2165

4.3 整体曲面与Euler数165

4.3.1 整体曲面165

4.3.2 曲面的三角剖分与Euler示性数172

习题4.3174

4.4 整体的Gauss-Bonnet公式174

4.4.1 整体的Gauss-Bonnet公式174

4.4.2 Gauss映射的映射度182

4.4.3 卵形面185

习题4.4188

第五章 曲面上的Levi-Civita联络190

5.1 曲面上矢量的平行移动190

5.1.1 曲面上矢量的平行移动190

5.1.2 平行矢量场的角变差195

习题5.1201

5.2 曲面上的Levi-Civita联络201

5.2.1 曲面上的矢量场201

5.2.2 曲面上的矢量场与Euler数206

5.2.3 曲面上的Levi-Civita联络207

习题5.2213

5.3 外微分形式与活动标架法213

5.3.1 外微分形式214

5.3.2 活动标架法217

习题5.3226

5.4 Riemann几何简介227

5.4.1 Riemann几何简介227

5.4.2 一个重要的例子234

习题5.4241

附录1 变分法243

1 弧长变分243

2 面积变分245

附录2 旋转角248

附录3 空间的等距变换251

习题254

名词索引255

参考文献259