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第一章 多元函数微分学1

第一节 多元函数的概念1

一、区域1

二、多元函数6

三、多元函数的几何表示8

习题1-18

第二节 多元函数的极限与连续性9

一、多元函数的极限9

二、多元函数的连续性12

三、有界闭区域上连续函数的性质14

四、二元函数的累次极限15

一、多元函数的偏导数18

第三节 偏导数18

习题1-218

二、二元函数偏导数的几何意义23

三、偏导数与连续的关系23

习题1-325

第四节 全微分26

一、全微分26

二、全微分的运算法则32

三、微分中值定理33

习题1-434

第五节 多元复合函数的求导法则35

一、链式法则35

二、全微分的形式不变性39

一、一个方程的情形41

习题1-541

第六节 隐函数的导数41

二、方程组的情形45

习题1-649

第七节 高阶偏导数与高阶微分50

一、高阶偏导数50

二、高阶微分57

习题1-759

第八节 方向导数与梯度60

一、方向导数60

二、梯度63

习题1-865

一、一类数学模型66

第一节 二重积分66

第二章 多元函数积分学66

二、二重积分的概念与性质68

三、二重积分的计算71

习题2-183

第二节 三重积分85

一、三重积分的概念与性质85

二、三重积分的计算86

习题2-297

第三节 广义二重积分98

一、无界区域上的二重积分98

二、含瑕点的二重积分101

一、对弧长的曲线积分的概念103

第四节 对弧长的曲线积分103

习题2-3103

二、对弧长的曲线积分的计算104

三、对弧长的曲线积分的几何意义108

习题2-4109

第五节 对面积的曲面积分109

一、对面积的曲面积分的概念109

二、对面积的曲面积分的计算110

习题2-5117

第六节 黎曼积分小结118

一、黎曼积分的概念118

二、黎曼积分的性质120

习题2-6123

第一节 多元函数的泰勒公式124

第三章 多元函数微积分学的应用124

习题3-1128

第二节 曲线的切线与法平面方程128

习题3-2132

第三节 曲线的弧长与平面曲线族的包络132

一、曲线的弧长132

二、平面曲线族的包络133

习题3-3137

第四节 曲面的切平面与法线方程138

一、曲面的切平面与法线方程138

二、二元函数全微分的几何意义141

习题3-4142

一、无约束极值143

第五节 无约束极值与有约束极值143

二、函数的最大值和最小值146

三、有约束极值149

习题3-5155

第六节 平面图形及曲面的面积156

一、平面图形的面积156

二、曲面的面积159

习题3-6161

第七节 几何体的体积162

习题3-7164

第八节 多元函数积分学在物理中的应用165

一、物体的质量165

二、质心和形心168

三、转动惯量172

四、引力176

习题3-8179

第四章 对坐标的曲线积分和曲面积分180

第一节 对坐标的曲线积分180

一、对坐标的曲线积分的概念180

二、对坐标的曲线积分的计算186

三、两类曲线积分的联系191

习题4-1192

第二节 格林公式193

一、格林公式193

二、平面上曲线积分与路径无关的条件198

三、原函数与全微分方程举例203

习题4-2207

一、双侧曲面208

第三节 对坐标的曲面积分208

二、对坐标的曲面积分的概念210

三、对坐标的曲面积分的计算213

四、两类曲面积分之间的联系217

习题4-3218

第四节 高斯公式与斯托克斯公式218

一、高斯公式218

二、斯托克斯公式221

习题4-4226

第五章 向量函数与场论228

第一节 向量函数的极限与连续性228

一、向量函数的概念228

二、向量函数的极限与连续性229

习题5-1231

第二节 向量函数的解析运算232

一、向量函数的导数和偏导数232

二、向量函数的微分237

三、向量函数的积分239

习题5-2241

第三节 数量场与其物理量242

一、数量场242

二、数量场的方向导数和梯度243

习题5-3248

第四节 向量场及其物理量249

一、向量场249

二、通量与散度251

三、环量与旋度254

习题5-4256

第五节 几个常见的重要场257

一、有势场257

二、无源场259

三、调和场260

习题5-5261

第六章 含参变量的积分262

第一节 含参变量积分的概念与运算262

习题6-1268

第二节 含参变量的无穷积分268

一、含参变量的无穷积分的敛散性268

二、含参变量的无穷积分的性质272

习题6-2276

第三节 г函数与B函数277

一、г函数277

二、B函数280

习题6-3283

第四节 含参变量积分应用举例283

习题6-4288

第七章 傅立叶分析289

第一节 周期函数的傅立叶级数289

一、傅立叶系数和傅立叶级数289

二、傅立叶级数收敛的充分条件292

三、正弦级数与余弦级数293

四、一般周期函数的傅立叶级数295

一、函数的周期性延拓298

第二节 非周期函数的傅立叶级数298

习题7-1298

二、奇延拓与偶延拓300

三、任意区间上非周期函数的傅立叶级数302

习题7-2303

第三节 傅立叶变换303

一、傅立叶级数的复形式304

二、傅立叶积分与傅立叶变换306

三、δ函数的傅立叶变换316

习题7-3318

第四节 拉普拉斯变换318

一、拉普拉斯变换的定义与存在条件318

二、拉普拉斯变换的性质321

三、拉普拉斯逆变换的求法325

四、拉普拉斯变换的简单应用326

习题7-4328

第八章 偏微分方程329

第一节 三类典型的偏微分方程329

一、典型方程的建立329

二、偏微分方程的一些基本概念334

三、定解条件与定解问题334

习题8-1337

第二节 分离变量法338

一、有界弦的自由振动338

二、圆域内稳态温度的第一边值问题341

三、施笃姆—刘维尔固有值理论343

习题8-2344

一、非齐次方程的混合问题345

第三节 分离变量法的进一步应用——非齐次情形345

二、非齐次边界条件的处理347

习题8-3350

第四节 波动方程的达朗贝尔公式351

一、两个自变量的二阶线性方程的分类与化简351

二、无界弦的自由横振动——达朗贝尔公式355

三、无界弦的强迫振动356

四、半无界弦的混合问题——对称延拓法358

习题8-4359

第五节 积分变换法360

一、傅立叶变换法举例360

二、拉普拉斯变换法举例362

习题8-5363

一、格林公式及其应用364

第六节 格林函数法364

二、格林函数366

习题8-6369

第七节 差分法369

一、差商与差分方程369

二、拉普拉斯方程的差分法371

三、波动方程的差分法374

四、热传导方程的差分法375

习题8-7376

习题答案377

附录388

附表1 傅立叶变换表388

附表2 拉普拉斯变换表392