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第一章 函数的概念1

第一节 函数的概念1

一、常量与变量、区间与邻域1

二、函数的概念3

三、分段函数4

习题1-15

第二节 函数的性质6

一、函数的有界性6

二、函数的单调性6

三、函数的奇偶性7

四、函数的周期性8

五、反函数的概念9

习题1-211

第三节 初等函数12

一、基本初等函数12

二、复合函数14

三、初等函数14

习题1-315

第四节 数学实验 MATHEMATICA软件的基本操作及函数作图15

一、Mathematica的启动和运行15

二、基本命令及操作16

习题1-426

数学家简介——阿基米德26

第一节 数列的极限27

一、数列的极限27

第二章 函数的极限与连续27

二、数列极限的计算31

三、数列极限的四则运算32

习题2-134

第二节 函数的极限35

一、当x→∞时函数f（x）的极限36

二、当x→x0时函数f（x）的极限38

三、当x→x0时f（x）的单侧极限40

习题2-243

第三节 无穷小与无穷大44

一、无穷小44

二、无穷大46

三、无穷小的比较47

习题2-349

第四节 极限的运算50

一、极限的四则运算法则50

二、两个重要的极限53

习题2-456

第五节 函数的连续性与间断点57

一、函数连续性的概念57

二、函数的间断点及其分类60

习题2-563

第六节 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质64

一、初等函数的连续性64

二、闭区间上连续函数的性质66

习题2-668

二、实验内容69

第七节 数学实验 函数的极限69

一、学习Mathematica命令69

习题2-772

数学家简介——达朗贝尔72

第三章 导数与微分74

第一节 导数的概念74

一、变化率问题引例74

二、导数定义76

三、导数的几何意义77

四、函数可导性与连续性的关系78

习题3-179

一、用导数的定义求函数的导数举例80

第二节 导数基本公式与求导法则80

二、函数四则运算求导法则83

习题3-285

第三节 初等函数的导数86

一、复合函数的求导法则86

二、反函数的求导法则88

三、初等函数的导数90

四、隐函数的求导法则91

五、对数求导法92

六、由参数方程所确定的函数的导数93

习题3-395

一、高阶导数的概念97

二、高阶导数的计算97

第四节 高阶导数97

习题3-499

第五节 微分100

一、微分的概念100

二、微分的几何意义102

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则102

四、微分在近似计算中的应用104

习题3-5106

第六节 数学实验 导数与微分107

一、学习Mathematica命令107

二、实验内容108

数学家简介——欧拉111

习题3-6111

第四章 导数的应用113

第一节 微分学中值定理113

一、罗尔定理113

二、拉格朗日中值定理114

三、柯西中值定理116

习题4-1117

第二节 利用导数研究函数的性态117

一、函数的单调性117

二、曲线的凹凸性与拐点120

三、函数的极值与最值122

习题4-2126

第三节 计算极限的洛必达法则127

一、0/0型或∞/∞型未定式128

二、其他类型的未定式——可化为0/0型或∞/∞型的未定式129

习题4-3131

第四节 导数的应用131

一、函数图形的描绘131

二、曲率133

三、曲率公式135

习题4-4136

第五节 数学实验 导数的应用137

一、学习Mathematica命令137

二、实验内容137

习题4-5141

数学家简介——拉格朗日142

一、原函数的概念143

第一节 不定积分的概念143

第五章 不定积分143

二、原函数存在定理144

三、不定积分的定义144

四、不定积分与导数（或微分）的关系145

习题5-1146

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法146

一、不定积分的基本运算法则146

二、不定积分的基本公式147

三、直接积分法148

习题5-2149

第三节 不定积分的换元积分法149

一、第一类换元积分法149

二、第二类换元积分法152

习题5-3154

第四节 不定积分的分部积分法155

习题5-4158

第五节 有理函数的积分158

习题5-5162

数学家简介——牛顿163

第六章 定积分164

第一节 定积分的概念和性质164

一、定积分产生的实际背景164

二、定积分的定义167

三、定积分的几何意义168

四、定积分的性质170

习题6-1172

第二节 定积分的基本公式173

一、变速直线运动位置函数与速度函数之间的关系173

二、变上限的定积分174

三、牛顿－莱布尼茨公式176

习题6-2178

第三节 定积分的计算方法179

一、定积分的换元积分法179

二、定积分的分部积分法182

习题6-3183

第四节 定积分的微元法184

一、定积分的微元法184

二、用定积分解决实际问题的条件186

第五节 定积分在几何中的应用187

习题6-4187

一、平面图形的面积188

二、空间立体的体积193

三、平面曲线的弧长198

习题6-5199

第六节 定积分在物理中的应用200

一、变力做功问题200

二、液体的压力问题201

三、引力问题203

习题6-6204

第七节 反常积分205

一、无穷区间上的反常积分205

二、无界函数的反常积分207

习题6-7209

第八节 数学实验 积分计算210

一、学习Mathematica命令210

二、实验内容210

习题6-8214

数学家简介——莱布尼茨215

第七章 无穷级数216

第一节 数项级数的基本概念及其性质216

一、数项级数的基本概念216

二、级数的性质219

习题7-1220

第二节 正项级数及其收敛的判别法221

第三节 任意项级数及其收敛的判别法224

习题7-2224

一、交错级数及其收敛的判别法225

二、任意项级数收敛的判别法225

习题7-3226

第四节 幂级数227

一、函数项级数227

二、幂级数及其收敛半径227

三、幂级数的运算性质230

习题7-4233

第五节 函数展开成幂级数234

一、泰勒级数235

二、函数展开成幂级数235

习题7-5239

第六节 傅里叶级数240

一、三角级数240

二、三角函数系的正交性240

三、函数展开成傅里叶级数241

四、将函数展开成正弦级数（余弦级数）245

五、周期为任意常数2l的函数展开成傅里叶级数247

习题7-6248

第七节 数学实验 无穷级数249

一、学习Mathematica命令249

二、实验内容249

习题7-7252

数学家简介——傅里叶253

习题参考答案254