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目录2

第一章　形象认识微分与积分2

1　动画——微分与积分的第一印象2

2　“连续变化”是怎样的变化4

3　平均速度VS瞬时速度6

4　如何求瞬时速度8

5　从地图的面积着手了解积分10

6　面积是线段的集合吗12

7　微分与积分到底是什么14

专栏1 《林德纸草书》的数学16

第二章　初探极限世界18

1　骑士能到达城堡吗——最大限度的概念18

2　0.99999 ＝1吗20

3　以分数表示循环小数22

4　阿喀琉斯能追上乌龟吗24

5　极限值＝收敛　26

专栏2　飞矢不动？28

第三章　通往微分之路：曲线的切线30

1　切线是什么　30

2　追踪赛车方向　32

3　圆的弦的极限就是切线34

4　曲线尖头部位画不出切线36

5　变化的比例　38

6　平均变化率和弦的斜率40

7　瞬间的弦的斜率＝切线的斜率42

8　“微分系数”是微分的根本原理44

9　求出切线的方程46

专栏3 《九章算术》的体积计算48

第四章 有曲线可“微分”50

1　馒头和函数　50

2　微分系数太麻烦，使用“导函数”吧52

3　微分运算（1）——二次函数的运算是基础54

4　微分运算（2）——直线和常数的情况56

5　使用“微分公式”立刻得出答案58

6　微分函数f（x）＝ax3＋bx2＋60

7 记忆更复杂的微分公式62

8　微分练习64

专栏4 天才关孝和的圆周率66

第五章　掌握微分公式，顺利解题68

1　切线的斜率道出了“曲线的形状”68

2　曲线的升降——单调递增与单调递减　70

3　局部的最大和最小——极大值、极小值72

4　通过图表描绘出曲线的大致形状——掌握函数增减表74

5　判断曲线凹凸的方法——求二次微分f″（x）的正负76

6　懂得增减、极值、凹凸，就可完全掌握图象78

7　三次函数的图象是怎样的80

8　三次函数可以作几条切线82

9　高效制作“滴水槽”的方法84

10　肥皂泡的膨胀速度86

专栏5　最快的旋轮线曲线　88

1　求原函数90

第六章　积分是微分的逆运算吗90

2　这就是积分公式92

3　是先积分后微分，还是先微分后积分94

4　从切线的斜率求原来的函数96

5　定积分中“C”消失了98

6　积分练习100

专栏6 通过积分预测“樱花前线”102

第七章 掌握积分104

1　微小的变化决定全体（1）——求圆的面积104

2　微小的变化决定全体（2）——测量侧面的水压106

3　利用定积分计算面积——曲线所成面积108

4　二次函数所形成的面积110

5　可以将面积认为是“积分的和”吗112

6　求两条曲线围成的区域面积114

7　以定积分求面积——微积分学的基本定理116

8　体积是面积的和——阿基米德的主张118

9　卡瓦列里原理——截面积比一定时，体积比也与之相同120

10　来切切萝卜——以积分求体积122

11　圆锥的体积公式——为什么是圆柱体积的三分之一124

12　斜切圆柱所得体积126

13　旋转圆，得到球——切面总为圆128

专栏7 “微积分的创始人”之间关系恶劣？130

1　用积分求极值的差——微积分的基本定理的应用132

第八章　得心应手使用微分与积分132

2　正方形的n分之一的面积——用抛物线3等分134

3　年轮形点心（圆柱体）的体积——“圆柱形薄膜”的集合136

4　求圆环体的体积——Guldin（古鲁金）定理138

5　削苹果皮——微分使得“次数”下降140

6　关于微分方程——用积分来解142

7　苹果自由下落——推导出万有引力定律144

8　往往返返的距离——用面积求距离146

9　用“近似计算”快速求解——利用（1＋h）n≈1＋nh148

专栏8　微分方程不可解？150