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前言1

符号说明1

引子1

第一章 科学的根源5

1.1 探寻世界的成因5

1.2 数学真理6

1.3 柏拉图的数学世界“真实”吗？8

1.4 三个世界与三重奥秘12

1.5 善、真、美15

第二章 古代定理和现代问题17

2.1 毕达哥拉斯定理17

2.2 欧几里得公设19

2.3 毕达哥拉斯定理的相似面积证明21

2.4 双曲几何：共形图像22

2.5 双曲几何的其他表示25

2.6 双曲几何的历史渊源29

2.7 与物理空间的关系31

第三章 物理世界里数的种类35

3.1 毕达哥拉斯灾难？35

3.2 实数系37

3.3 物理世界里的实数41

3.4 自然数需要物理世界吗？43

3.5 物理世界里的离散数44

第四章 奇幻的复数48

4.1 魔数“i”48

4.2 用复数解方程50

4.3 幂级数的收敛52

4.4 韦塞尔复平面55

4.5 如何构造曼德布罗特集56

第五章 对数、幂和根的几何学58

5.1 复代数几何58

5.2 复对数概念61

5.3 多值性，自然对数62

5.4 复数幂65

5.5 与现代粒子物理学的某些关联68

第六章 实数微积分71

6.1 如何构造实函数？71

6.2 函数的斜率73

6.3 高阶导数；C∞光滑函数75

6.4 “欧拉的”函数概念77

6.5 微分法则79

6.6 积分81

第七章 复数微积分85

7.1 复光滑，全纯函数85

7.2 周线积分86

7.3 复光滑幂级数88

7.4 解析延拓90

第八章 黎曼曲面和复映射94

8.1 黎曼曲面概念94

8.2 共形映射97

8.3 黎曼球面99

8.4 紧黎曼曲面的亏格101

8.5 黎曼映射定理104

第九章 傅里叶分解和超函数107

9.1 傅里叶级数107

9.2 圆上的函数111

9.3 黎曼球面上的频率剖分113

9.4 傅里叶变换115

9.5 傅里叶变换的频率剖分117

9.6 哪种函数是适当的？119

9.7 超函数121

第十章 曲面127

10.1 复维和实维127

10.2 光滑，偏导数128

10.3 矢量场与1形式131

10.4 分量，标量积135

10.5 柯西-黎曼方程137

第十一章 超复数141

11.1 四元数代数141

11.2 四元数的物理角色143

11.3 四元数几何145

11.4 转动如何叠加147

11.5 克利福德代数149

11.6 格拉斯曼代数151

第十二章 n维流形155

12.1 为什么要研究高维流形？155

12.2 流形与坐标拼块158

12.3 标量、矢量和余矢量159

12.4 格拉斯曼积163

12.5 形式的积分164

12.6 外导数165

12.7 体积元，求和规则169

12.8 张量：抽象指标记法和图示记法171

12.9 复流形172

第十三章 对称群177

13.1 变换群177

13.2 子群和单群180

13.3 线性变换和矩阵183

13.4 行列式和迹187

13.5 本征值与本征矢量189

13.6 表示理论与李代数191

13.7 张量表示空间；可约性194

13.8 正交群197

13.9 酉群202

13.10 辛群206

第十四章 流形上的微积分211

14.1 流形上的微分211

14.2 平行移动212

14.3 协变导数215

14.4 曲率和挠率217

14.5 测地线、平行四边形和曲率219

14.6 李导数224

14.7 度规能为你做什么229

14.8 辛流形232

第十五章 纤维丛和规范联络235

15.1 纤维丛的物理背景235

15.2 丛的数学思想237

15.3 丛的截面240

15.4 克利福德丛242

15.5 复矢量丛、（余）切丛244

15.6 射影空间246

15.7 丛联络的非平凡性250

15.8 丛曲率253

第十六章 无限的阶梯258

16.1 有限域258

16.2 物理上需要的是有限还是无限几何？260

16.3 无限的不同大小263

16.4 康托尔对角线法265

16.5 数学基础方面的难题268

16.6 图灵机和哥德尔定理270

16.7 物理学中无限的大小273

第十七章 时空276

17.1 亚里士多德物理学的时空276

17.2 伽利略原理下的时空相对性278

17.3 时空的牛顿动力学279

17.4 等效原理281

17.5 嘉当的“牛顿时空”284

17.6 确定不变的有限光速288

17.7 光锥289

17.8 放弃绝对时间291

17.9 爱因斯坦广义相对论的时空294

第十八章 闵可夫斯基几何297

18.1 欧几里得型与闵可夫斯基型四维空间297

18.2 闵可夫斯基空间的对称群300

18.3 洛伦兹正交性；“时钟悖论”301

18.4 闵可夫斯基空间的双曲几何304

18.5 作为黎曼球面的天球309

18.6 牛顿能量和（角）动量312

18.7 相对论性能量和（角）动量313

第十九章 麦克斯韦和爱因斯坦的经典场318

19.1 背离牛顿动力学的演化318

19.2 麦克斯韦电磁场理论319

19.3 麦克斯韦理论中的守恒律和通量定律323

19.4 作为规范曲率的麦克斯韦场325

19.5 能量动量张量329

19.6 爱因斯坦场方程332

19.7 进一步的问题：宇宙学常数；外尔张量334

19.8 引力场能量336

第二十章 拉格朗日量和哈密顿量341

20.1 神奇的拉格朗日形式体系341

20.2 更为对称的哈密顿图像344

20.3 小振动346

20.4 辛几何的哈密顿动力学350

20.5 场的拉格朗日处理352

20.6 如何从拉格朗日量导出现代理论354

第二十一章 量子粒子357

21.1 非对易变量357

21.2 量子哈密顿量359

21.3 薛定谔方程360

21.4 量子理论的实验背景362

21.5 理解波粒二象性365

21.6 什么是量子“实在”？367

21.7 波函数的“整体”性质369

21.8 奇怪的“量子跳变”372

21.9 波函数的概率分布373

21.10 位置态374

21.11 动量空间描述376

第二十二章 量子代数、几何和自旋380

22.1 量子步骤U和R380

22.2 U的线性性以及它给R带来的问题382

22.3 幺正结构、希尔伯特空间和狄拉克算符384

22.4 幺正演化：薛定谔绘景和海森伯绘景385

22.5 量子“可观察量”388

22.6 YES/NO测量；投影算符390

22.7 类光测量；螺旋性392

22.8 自旋和旋量395

22.9 二态系统的黎曼球面398

22.10 高自旋：马约拉纳绘景402

22.11 球谐函数404

22.12 相对论性量子角动量407

22.13 一般的孤立量子客体409

第二十三章 纠缠的量子世界415

23.1 多粒子系统的量子力学415

23.2 巨大的多粒子系统态空间416

23.3 量子纠缠：贝尔不等式418

23.4 玻姆型EPR实验420

23.5 哈迪的EPR事例：几乎与概率无关423

23.6 量子纠缠的两个谜团424

23.7 玻色子和费米子426

23.8 玻色子和费米子的量子态428

23.9 量子隐形传态429

23.10 量子纠缠432

第二十四章 狄拉克电子和反粒子437

24.1 量子理论与相对论之间的张力437

24.2 为什么反粒子意味着量子场？438

24.3 量子力学里能量的正定性439

24.4 相对论能量公式的困难441

24.5 ？/？t的非不变性442

24.6 波算符的克利福德-狄拉克平方根443

24.7 狄拉克方程445

24.8 正电子的狄拉克途径446

第二十五章 粒子物理学的标准模型450

25.1 现代粒子物理学的起源450

25.2 电子的zigzag图像451

25.3 电弱相互作用；反射不对称性454

25.4 正反共轭、宇称和时间反演458

25.5 电弱对称群460

25.6 强相互作用粒子462

25.7 “色夸克”465

25.8 超越标准模型？467

第二十六章 量子场论471

26.1 量子场论在现代物理中的基础地位471

26.2 产生算符和湮没算符472

26.3 无穷维代数474

26.4 量子场论中的反粒子476

26.5 备择真空477

26.6 相互作用：拉格朗日量和路径积分478

26.7 发散的路径积分：费恩曼响应481

26.8 构建费恩曼图；S矩阵483

26.9 重正化485

26.10 拉格朗日量的费恩曼图488

26.11 费恩曼图和真空选择489

第二十七章 大爆炸及其热力学传奇493

27.1 动力学演化的时间对称性493

27.2 亚微观成分494

27.3 熵495

27.4 熵概念的鲁棒性497

27.5 第二定律的导出499

27.6 整个宇宙可看作一个“孤立系统”吗？502

27.7 大爆炸的角色503

27.8 黑洞507

27.9 事件视界与时空奇点510

27.10 黑洞熵512

27.11 宇宙学514

27.12 共形图518

27.13 异乎寻常的特殊大爆炸521

第二十八章 早期宇宙的推测性理论527

28.1 早期宇宙的自发对称破缺527

28.2 宇宙的拓扑缺陷529

28.3 早期宇宙的对称性破缺问题532

28.4 暴胀宇宙学535

28.5 暴胀的动机有效吗？539

28.6 人存原理542

28.7 大爆炸的特殊性质：人存是关键？545

28.8 外尔曲率假说548

28.9 哈特尔-霍金的“无界”假说550

28.10 宇宙学参数：观察的地位？552

第二十九章 测量疑难560

29.1 量子理论的传统本体论560

29.2 量子理论的非传统本体论562

29.3 密度矩阵566

29.4 自旋1/2的密度矩阵：布洛赫球568

29.5 EPR状态的密度矩阵571

29.6 环境退相关的FAPP哲学575

29.7 “哥本哈根”本体论的薛定谔猫576

29.8 其他传统本体论能够解决“猫”佯谬吗？578

29.9 哪一种非传统本体论有助于解决问题？580

第三十章 量子态收缩中的引力角色584

30.1 当今的量子理论在此适用吗？584

30.2 来自宇宙学时间不对称的线索585

30.3 量子态收缩的时间不对称性586

30.4 霍金的黑洞温度589

30.5 源自复周期性的黑洞温度592

30.6 基灵矢量，能量流——时间旅行！596

30.7 来自负能量途径的能量流598

30.8 霍金爆炸600

30.9 更激进的观点603

30.10 薛定谔团块605

30.11 与爱因斯坦原理的基本冲突607

30.12 优先的薛定谔-牛顿态？610

30.13 FELIX及其相关理论612

30.14 早期宇宙涨落的起源615

第三十一章 超对称、超维和弦621

31.1 令人费解的参数621

31.2 超对称624

31.3 超对称代数和几何626

31.4 高维时空629

31.5 原初的强子弦论631

31.6 极品弦论634

31.7 额外时空维的弦动机636

31.8 作为量子引力理论的弦论？637

31.9 弦动力学639

31.10 为什么我们看不见额外的空间维？640

31.11 我们应当接受量子稳定性论证吗？644

31.12 额外维的经典不稳定性646

31.13 弦量子场论是有限的吗？647

31.14 神奇的卡拉比-丘空间；M理论649

31.15 弦与黑洞熵653

31.16 “全息原理”655

31.17 D膜观点657

31.18 弦论的物理学地位？659

第三十二章 更为狭窄的爱因斯坦途径；圈变量666

32.1 正则量子引力666

32.2 阿什台卡变量的手征输入667

32.3 阿什台卡变量的形式669

32.4 圈变量671

32.5 结与链的数学673

32.6 自旋网络675

32.7 圈量子引力的地位679

第三十三章 更彻底的观点；扭量理论683

33.1 几何上具有离散元素的理论683

33.2 作为光线的扭量686

33.3 共形群、紧化闵可夫斯基空间690

33.4 作为高维旋量的扭量693

33.5 基本扭量几何及其坐标694

33.6 作为无质量自旋粒子的扭量的几何697

33.7 扭量量子论700

33.8 无质量场的扭量描述702

33.9 扭量层上同调704

33.10 扭量与正／负频率剖分708

33.11 非线性引力子709

33.12 扭量与广义相对论713

33.13 面向粒子物理的扭量理论714

33.14 扭量理论的未来715

第三十四章 实在之路通向何方720

34.1 20世纪物理学的伟大理论及其超越？720

34.2 数学推动下的基础物理学722

34.3 物理理论中时尚的作用725

34.4 错误理论能被实验驳倒吗？727

34.5 下一次物理学革命会来自何处？730

34.6 什么是实在？732

34.7 心智在物理理论中的作用733

34.8 通向实在的漫长的数学之路736

34.9 美和奇迹739

34.10 艰深的问题回答了，更深的问题又形成了742

尾声746

名词索引748

致谢759

文献目录761

译后记797