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第一章 函数　极限 连续1

第一节　函数1

一、引例1

二、函数2

三、函数的表示法2

四、函数的几种特性4

五、初等函数5

六、建立函数关系7

七、多元函数8

思考题1-112

习题1-113

第二节　极限13

一、引例13

二、数列的极限14

三、x→∞时函数的极限15

四、x→x0时函数的极限16

五、极限的等价定义17

六、极限的性质19

思考题1-219

习题1-219

第三节　极限的四则运算法则20

一、极限的四则运算法则20

二、求极限举例20

思考题1-322

习题1-322

第四节　函数的连续性23

一、函数的连续性23

二、初等函数的连续性24

三、函数的间断点25

四、闭区间上连续函数的性质26

五、多元函数的极限和连续27

思考题1-428

习题1-428

第五节　两个重要极限28

一、第一个重要极限lim x→0 sin x/x=129

二、第二个重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e30

思考题1-533

习题1-533

第二章　微分学及其应用34

第一节　导数的概念34

一、引例34

二、导数的定义35

三、导数的几何意义38

四、可导与连续的关系38

思考题2-139

习题2-139

第二节　导数的四则运算39

思考题2－241

习题2-242

第三节　微分42

一、引例42

二、微分的定义42

三、反函数的导数43

四、微分公式及微分法则45

五、微分的几何意义45

思考题2-346

习题2-346

第四节　利用微分求导数46

一、复合函数的导数47

二、由参数方程确定的函数的导数48

三、隐函数的导数49

思考题2-450

习题2-450

第五节　高阶导数51

思考题2-553

习题2－553

第六节　函数的单调性与曲线的凹凸53

一、中值定理53

二、函数的单调性56

三、函数的极值和最值57

四、曲线的凹凸与拐点59

思考题2-661

习题2-661

第七节　洛必达法则61

思考题2-764

习题2-764

第八节　二元函数微分学65

一、偏导数及其几何意义65

二、全微分及其几何意义67

三、二元复合函数与隐函数的微分法69

思考题2-871

习题2-871

第九节　二元函数微分法的应用72

一、二元函数的极值72

二、条件极值73

三、方向导数与梯度74

思考题2-976

习题2-976

第三章　积分学及其应用77

第一节　定积分概念与性质77

一、定积分问题举例77

二、定积分的定义80

三、定积分的几何意义82

四、定积分的性质82

思考题3-185

习题3-186

第二节　原函数与不定积分87

一、原函数87

二、不定积分88

三、基本积分公式88

四、不定积分的性质89

五、直接积分法90

思考题3-290

习题3-291

第三节　微积分基本公式92

一、积分上限函数及其导数92

二、微积分基本公式94

三、定积分的直接积分法95

思考题3-396

习题3-396

第四节　换元积分法97

一、不定积分换元法97

二、定积分换元法102

思考题3-4104

习题3-4104

第五节　分部积分法105

一、不定积分的分部积分法105

二、定积分的分部积分法106

思考题3-5108

习题3-5108

第六节　定积分的近似计算108

一、矩形法108

二、梯形法109

思考题3-6110

习题3-6110

第七节　定积分的应用110

一、在几何上的应用110

二、在物理上的应用115

三、函数的平均值117

思考题3-7117

习题3-7117

第八节 无穷区间上的反常积分118

思考题3-8120

习题3-8120

第九节 二重积分120

一、引例120

二、二重积分的定义及性质121

三、二重积分的计算123

四、二重积分的简单应用128

思考题3-9130

习题3-9131

第四章 微分方程132

第一节 微分方程的基本概念132

一 、实例132

二、微分方程的基本概念134

思考题4-1136

习题4-1136

第二节 一阶微分方程137

一、可分离变量的微分方程137

二、齐次型微分方程139

三、一阶线性微分方程141

思考题4-2144

习题4-2144

第三节 一阶微分方程的应用举例144

习题4-3149

第四节 二阶线性微分方程及其解的结构149

一、实例149

二、二阶线性微分方程解的结构152

思考题4-4154

习题4-4154

第五节　二阶常系数线性微分方程155

一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法155

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法159

思考题4-5163

习题4-5163

第六节　二阶微分方程的应用举例164

习题4-6167

第七节　微分方程的数值解167

一、欧拉折线法168

二、改进的欧拉折线法169

三、龙格-库塔法170

习题4-7171

第五章　逼近与级数172

第一节　泰勒多项式172

一、线性逼近172

二、二次逼近173

三、高次逼近173

四、泰勒公式175

思考题5-1177

习题5-1177

第二节　数项级数178

一、数项级数的基本概念178

二、数项级数的基本性质181

思考题5-2182

习题5-2182

第三节　数项级数的审敛法184

一、正项级数及其审敛法184

二、交错级数及其审敛法187

三、绝对收敛与条件收敛188

思考题5-3190

习题5-3190

第四节　函数项级数191

一、函数项级数的概念191

二、幂级数及其收敛性192

三、幂级数的运算性质194

思考题5-4195

习题5-4196

第五节　函数展开成幂级数的方法196

一、直接展开法197

二、间接展开法198

思考题5-5203

习题5-5204

第六节　傅里叶级数204

一、傅里叶级数204

二、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数207

三、正弦级数与余弦级数209

四、以T为周期的函数的傅里叶级数212

思考题5-6213

习题5-6213

第六章　Mathematica简介214

第一节　Mathematica系统使用入门214

一、算术运算214

二、变量与函数215

三、赋值与代入216

四、绘图初步217

五、帮助语句220

第二节　Mathematica系统中的基本运算220

一、极限运算220

二、导数的运算221

三、积分运算225

四、级数运算226

五、求解微分方程226

习题答案229

参考书目241