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上册1

第一章　函数与极限1

1-1　初等函数1

一、邻域的概念1

二、初等函数1

三、建立函数关系举例4

四、双曲函数6

习题1-17

1-2　函数的极限8

一、当x→∞时，函数f（x）的极限8

二、当x→x0时，函数f（x）的极限11

三、x→x0时，函数f（x）的左、右极限12

四、函数极限的性质14

习题1-214

1-3　极限运算法则14

习题1-316

1-4　无穷小与无穷大17

一、无穷小17

二、无穷大18

习题1-420

1-5　两个重要极限20

习题1-525

1-6　无穷小的比较25

习题1-628

1-7　初等函数的连续性28

一、函数的增量29

二、函数连续性的概念29

三、函数的间断点31

四、初等函数的连续性33

五、闭区间上连续函数的性质34

习题1-735

第二章　导数与微分37

2-1　导数的概念37

一、变化率问题举例37

二、导数的定义38

三、求导数举例40

四、导数的几何意义42

五、可导与连续的关系43

习题2-144

2-2　求导法则45

一、导数的四则运算法则45

二、反函数的导数48

三、复合函数的导数50

习题2-251

2-3　初等函数的求导问题52

一、常数和基本初等函数的导数公式52

二、函数和、差、积、商的求导法则53

三、复合函数求导法则53

四、双曲函数的导数53

习题2-355

2-4　高阶导数55

一、高阶导数55

二、n阶导数公式56

习题2-458

2-5　隐函数及由参数方程所确定的数的导数59

一、隐函数的导数59

二、由参数方程所确定的函数的导数60

习题2-561

2-6　函数的微分62

一、微分的定义62

二、微分的几何意义65

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则65

习题2-667

2-7　微分在近似计算上的应用68

习题2-770

第三章　微分中值定理与导数的应用71

3-1　微分中值定理71

一、罗尔定理71

二、拉格朗日中值定理73

三、柯西中值定理77

习题3-178

3-2　罗必塔法则78

一、0/0型未定式79

二、∞/∞型未定式81

三、其他未定式82

习题3-285

3-3　函数单调性的判定方法86

习题3-389

3-4　函数的极值及其求法90

一、函数极值的定义90

二、函数极值的求法91

习题3-495

3-5　函数的最大值和最小值的求法95

习题3-599

3-6　曲率100

一、弧的微分101

二、曲率及其计算公式102

三、曲率圆与曲率半径106

习题3-6108

第四章　不定积分109

4-1　不定积分的概念和性质109

一、原函数和不定积分的概念109

二、不定积分的性质111

三、基本积分公式112

习题4-1114

4-2　换元积分法115

一、第一类换元积分法115

二、第二类换元积分法120

习题4-2125

4-3　分部积分法127

习题4-3130

4-4　简单有理函数的积分130

一、简单有理函数的积分130

二、三角函数有理式的积分133

三、积分表的使用134

习题4-4137

第五章　定积分及其应用138

5-1　定积分的定义及其性质138

一、引例138

二、定积分的定义141

三、定积分的几何意义143

四、定积分的基本性质145

习题5-1148

5-2　定积分的计算149

一、积分上限的函数及其导数149

二、牛顿-莱布尼兹公式151

习题5-2152

5-3　定积分的换元积分法和分部积分法153

一、定积分的换元积分法153

二、定积分的分部积分法157

习题5-3158

5-4　广义积分159

一、无穷区间上的广义积分160

二、被积函数有无穷间断点的广义积分162

习题5-4164

5-5　定积分的几何应用164

一、定积分的元素法164

二、平面图形的面积165

三、体积168

四、平面曲线的弧长171

习题5-5173

5-6　定积分在物理学上的应用175

一、变力沿直线所作的功175

二、静水的压力176

三、电学上的应用178

习题5-6179

第六章　常微分方程181

6-1　微分方程的基本概念181

一、引例181

二、微分方程及其解182

习题6-1184

6-2　可分离变量的微分方程185

习题6-2187

6-3　齐次微分方程188

习题6-3192

6-4　一阶线性微分方程192

一、一阶线性微分方程192

二、贝努利方程196

习题6-4197

6-5　可降阶的高阶微分方程198

一、y(n)=f（x）型微分方程198

二、y″=f（x,y′）型微分方程199

三、y″=f（y,y′）型微分方程200

习题6-5202

6-6　二阶线性微分方程的解的结构203

一、二阶线性微分方程的基本概念203

二、二阶线性齐次微分方程的解的结构203

三、二阶线性非齐次微分方程的解的结构205

习题6-6207

6-7　二阶常系数线性微分方程207

一、二阶常系数线性齐次方程207

二、二阶常系数线性非齐次方程212

习题6-7217

附录　积分表219

习题答案（上册）231

下册247

第七章　无穷级数247

7-1　数项级数247

一、数项级数的概念247

二、数项级数的性质250

三、级数收敛的必要条件251

习题7-1252

7-2　数项级数的审敛法253

一、正项级数及其审敛法253

二、交错级数及其审敛法257

三、任意项级数及其审敛法259

习题7-2260

7-3　幂级数261

一、函数项级数的一般概念261

二、幂级数及其收敛区间262

三、幂级数的运算267

习题7-3269

7-4　函数展开成幂级数269

一、泰勒（Taylor）级数269

二、直接展开法272

三、间接展开法278

习题7-4279

7-5　傅立叶级数280

一、三角函数系的正交性280

二、函数展开为傅立叶级数281

习题7-5288

7-6　函数的周期延拓288

一、函数f（x）只在区间［-π,π］上有定义289

二、函数f（x）只在区间［0,π］上有定义290

习题7-6292

7-7　周期为2l的周期函数展开成傅立叶级数292

一、周期为2l的函数f（x）展成傅立叶级数293

二、周期为2l的奇、偶函数f（x）展成傅立叶级数294

三、只在［-l,l］或（0,l）上有定义的函数f（x）展成傅立叶级数294

习题7-7297

7-8　傅立叶级数的复数形式298

习题7-8301

第八章　拉普拉斯变换302

8-1　拉氏变换的概念302

一、拉氏变换的定义302

二、单位阶梯函数304

三、狄拉克函数307

习题8-1308

8-2　拉氏变换的性质309

习题8-2316

8-3　拉氏变换的逆变换318

一、拉氏逆变换的定义318

二、拉氏逆变换的性质319

三、部分分式法320

习题8-3324

8-4　拉氏变换的应用325

习题8-4328

第九章　线性代数330

9-1 n阶行列式的定义330

一、二阶和三阶行列式330

二、n阶行列式333

习题9-1337

9-2　行列式的性质与计算337

一、行列式的基本性质337

二、行列式的运算342

三、行列式的证明344

习题9-2345

9-3　克莱姆法则347

一、克莱姆法则347

二、用克莱姆法则讨论线性方程组的解349

习题9-3350

9-4　矩阵的概念和矩阵的运算351

一、矩阵的基本概念351

二、矩阵的运算353

习题9-4362

9-5　逆矩阵364

一、逆矩阵的概念364

二、逆矩阵的求法365

习题9-5370

9-6　矩阵的初等变换371

一、矩阵的初等变换371

二、初等方阵373

三、用初等变换求逆矩阵376

习题9-6378

9-7　矩阵的秩379

一、矩阵的秩379

二、利用初等变换求矩阵的秩380

习题9-7383

9-8 n维向量384

一、n维向量的概念384

二、n维向量的运算385

三、向量组的线性相关性386

四、最大线性无关组389

习题9-8390

9-9　齐次线性方程组390

一、齐次线性方程组解的结构391

二、齐次线性方程组有非零解的条件392

三、用矩阵的初等行变换求解齐次线性方程组396

习题9-9400

9-10　非齐次线性方程组401

一、非齐次线性方程组401

二、非齐次线性方程组有解的条件403

三、用初等行变换求解非齐次线性方程组404

习题9-10407

第十章　概率论与数理统计409

10-1　随机事件409

一、必然现象和随机现象409

二、随机事件与样本空间410

三、事件之间的关系和运算412

习题10-1416

10-2　概率的定义417

一、频率的概念417

二、概率的统计定义及性质418

三、古典概型419

习题10-2421

10-3　概率的加法公式422

习题10-3424

10-4　条件概率、概率的乘法公式、事件的独立性和独立试验概型424

一、条件概率、概率的乘法公式424

二、事件的独立性427

三、贝努利概型429

习题10-4431

10-5　随机变量及其分布432

一、随机变量的概念432

二、离散型随机变量及其分布列434

三、连续型随机变量及其密度函数435

四、随机变量的分布函数437

习题10-5439

10-6　几个重要的随机变量分布440

一、常见的离散型随机变量的分布440

二、连续型随机变量的分布445

习题10-6450

10-7　二维随机变量450

一、二维随机变量及其分布450

二、边缘分布453

三、随机变量的独立性456

习题10-7458

10-8　随机变量的数字特征460

一、随机变量的数学期望460

二、随机变量的方差467

三、切比雪夫不等式472

四、矩473

习题10-8473

10-9　总体、样本、统计量474

一、总体、个体和样本475

二、统计量476

习题10-9478

10-10　抽样分布478

一、正态分布479

二、x2分布481

三、t分布483

习题10-10485

10-11　参数估计486

一、参数的点估计487

二、参数的区间估计492

习题10-11498

10-12　假设检验499

一、假设检验的基本思想和步骤499

二、正态总体的参数的假设检验501

三、非参数假设检验508

习题10-12511

10-13　一元线性回归分析与可线性化回归方程512

一、一元线性回归方程513

二、线性相关性检验517

三、可线性化的回归方程519

习题10-13522

附录524

附表1　泊松分布表524

附表2　标准正态分布表528

附表3 x2分布表529

附表4 t分布表532

附表5　相关系数显著性检验表533

习题答案（下册）535

参考文献551