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第一部分 矩阵论3

第一章 线性代数基本知识3

1.1向量和向量空间3

1.1.1向量的运算3

1.1.2向量组的线性相关性和向量组的秩5

1.1.3向量空间7

习题1.110

1.2矩阵及其运算10

1.2.1矩阵的运算11

1.2.2可逆矩阵与逆矩阵13

1.2.3分块矩阵14

习题1.214

1.3矩阵的初等变换及其应用15

1.3.1矩阵的等价16

1.3.2矩阵的秩18

1.3.3应用举例22

习题1.325

1.4线性方程组26

1.4.1线性方程组解的存在定理27

1.4.2线性方程组解的结构28

习题1.430

1.5特征值与特征向量30

1.5.1特征值与特征向量的性质32

1.5.2方阵的相似变换和相似对角化34

1.5.3 Hermite矩阵和实对称矩阵的特征值与特征向量38

习题1.542

1.6实二次型43

习题1.649

第二章 方阵的相似化简50

2.1 Jordan标准形50

习题2.162

2.2 Cayley-Hamilton定理62

习题2.270

2.3方阵的酉相似化简71

习题2.375

2.4实方阵的正交相似化简75

习题2.479

第三章向量范数和矩阵范数81

3.1向量范数81

习题3.183

3.2矩阵范数83

习题3.288

3.3方阵的谱半径89

习题3.391

第四章 方阵函数与函数矩阵92

4.1矩阵序列与矩阵级数92

习题4.195

4.2方阵函数及其计算96

习题4.2102

4.3函数矩阵及其应用102

习题4.3107

第五章 矩阵分解108

5.1方阵的三角分解108

习题5.1115

5.2方阵的正交（酉）三角分解115

习题5.2122

5.3矩阵的奇异值分解123

习题5.3129

第六章 线性空间和线性变换130

6.1线性空间130

6.1.1线性空间的定义及例子130

6.1.2基与维数132

6.1.3基变换与坐标变换134

6.1.4子空间和维数定理136

习题6.1138

6.2线性变换139

6.2.1线性变换的定义及矩阵表示139

6.2.2线性变换的零空间和值空间142

6.2.3线性变换的最简矩阵表示及不变子空间144

习题6.2148

6.3内积空间及两类特殊的线性变换149

习题6.3152

参考文献153

第二部分 数值计算方法157

第一章 误差的基本知识157

1.1绝对误差、相对误差及有效数字157

1.2数值计算的误差估计及算法稳定性159

1.3数值计算中应注意的一些原则164

习题1166

第二章 线性方程组的数值解法168

2.1 Gauss主元消去法168

2.2矩阵分解在解线性方程组中的应用172

2.3直接法的误差分析176

2.4线性方程组的迭代解法179

2.5逐次超松弛迭代法和块迭代法188

2.5.1逐次超松弛迭代法188

2.5.2块迭代法191

2.6迭代法的数值稳定性和误差分析192

习题2193

第三章 方阵特征值和特征向量的数值计算195

3.1特征值的估计195

3.2幂法与反幂法197

3.2.1幂法197

3.2.2加速方法199

3.2.3反幂法203

3.3 QR方法204

3.3.1 QR方法的计算公式204

3.3.2上H essenberg矩阵的QR方法及带原点平移的QR方法206

习题3207

第四章 计算函数零点和极值点的迭代法208

4.1不动点迭代法及其收敛性208

4.1.1解一元方程的迭代法209

4.1.2解非线性方程组的迭代法214

4.2 Newton迭代法及其变形217

4.3无约束优化问题的下降迭代法221

4.3.1最速下降法222

4.3.2变尺度法224

习题4228

第五章 函数的插值与最佳平方逼近230

5.1多项式插值231

5.2样条插值241

5.3数据的最小二乘拟合247

5.4函数的最佳平方逼近251

5.5二元插值262

习题5264

第六章 数值积分与数值微分267

6.1 Newton-Cotes求积公式269

6.2复化求积公式及其余项表达式274

6.3 Richardson外推法和数值积分的Romberg算法279

6.3.1 Richardson外推法279

6.3.2数值积分的Romberg算法280

6.4 Gauss型求积公式282

6.5二重积分的计算方法289

6.6数值微分291

习题6295

第七章 常微分方程数值解法298

7.1初值问题数值解法的构造及其精度299

7.2 Runge-Kutta方法304

7.3线性多步法309

7.4预估-校正公式314

7.5边值问题的差分法316

习题7320

参考文献321

第三部分 数理统计325

第一章 数理统计的基本概念325

1.1总体与样本325

1.2统计量与样本矩327

1.3数理统计中常用的几个分布329

1.4抽样分布333

1.5分位数337

习题1338

第二章 参数估计340

2.1点估计340

2.1.1矩估计法341

2.1.2极大似然估计法343

2.2估计量的评选标准347

2.2.1无偏估计348

2.2.2有效估计和最小方差估计350

2.2.3相合估计与渐近正态性355

2.3区间估计357

习题2366

第三章 假设检验369

3.1假设检验的基本概念369

3.2正态总体下参数的假设检验371

3.3非正态总体大样本参数检验380

3.4检验的优劣382

3.4.1功效函数382

3.4.2最大功效检验386

习题3389

第四章 线性统计推断391

4.1线性统计模型391

4.2最小二乘估计及其性质393

4.3线性模型的假设检验和统计推断401

4.3.1线性模型的假设检验401

4.3.2回归系数的假设检验403

4.3.3统计推断406

4.4方差分析407

4.4.1单因子方差分析409

4.4.2双因子方差分析413

4.5正交试验设计及其应用418

习题4429

附表432

参考文献443