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前言1

第一篇 微积分1

第一章　函数1

§1.1.1 求几类函数的表达式1

题型一 求反函数的表达式1

目录1

题型二 求分段函数的复合函数2

题型三 利用函数概念求两类函数表达式4

§1.1.2 判别（证明）几类函数的奇偶性5

题型一 判别经四则运算后的函数的奇偶性5

题型三 判别复合函数的奇偶性6

题型二 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性6

题型四 判别原函数F(x)=？f(t)dt的奇偶性7

§1.1.3 奇、偶函数的几个性质的应用8

习题1.19

第二章 极限、连续12

§1.2.1 极限的概念与基本性质12

题型一 正确理解极限定义中的“ε,N”、“ε,δ”、“ε,X”语言的含义12

题型二 正确区别无穷大与无界量12

题型三 正确运用极限的保序性、保号性14

题型四 正确运用极限的四则运算法则、无穷大运算法则及夹逼准则14

题型一 求？型或？型极限16

§1.2.2 求未定型函数极限16

题型二 求0·∞型极限19

题型三 求∞－∞型极限20

题型四 求幂指函数型（00型，∞0型，1∞型）极限20

题型五 求含变限积分的未定型极限24

题型六 求与增量比（差商）有关的极限26

§1.2.3 求数列极限28

题型一 求无穷多项和的极限30

题型二 求无穷多项积的极限31

题型三 求由递推关系式给出的数列的极限32

题型一 求含？/x型的极限33

§1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限33

题型二 求含根式差的函数极限35

题型三 求含指数函数差的函数极限35

题型四 求含极限不存在但有界的因式的函数极限35

§1.2.5 已知含未知函数的一（些）极限，求与该函数有关的函数极限36

§1.2.6 求极限式中待定常数37

题型一 求有理函数极限式中的待定常数37

题型二 确定分式函数极限式中的参数38

题型三 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数39

题型四 求含变项积分的极限式中的待定常数40

§1.2.7 比较和确定无穷小的阶40

题型一 比较无穷小的阶42

题型二 确定无穷小为几阶无穷小43

§1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型44

题型三 利用无穷小阶的比较求待定常数44

题型一 判断初等函数的连续性45

题型二 讨论非初等函数的连续性46

题型三 判断函数间断点的类型48

§1.2.9 根据函数在某点（或某区间）连续（可导）确定待定常数50

题型一 根据函数在某点（或某区间）连续确定待定常数50

题型二 根据函数在某点（或某区间）可导确定待定常数51

§1.2.10 可用闭区间上连续函数性质证明的几类中值命题52

题型一 证明存在？∈（a,b），使f(？)=k（k为常数）53

题型二 已知函数的取值情况，证明中值等式54

题型一 计算连续复利55

§1.2.11 极限在经济活动分析中的应用55

题型二 求解贴现问题56

题型三 计算生产函数的极限57

习题1.257

第三章 一元函数微分学61

§1.3.1 一元函数的可微性61

题型一 讨论函数在某点的可导性61

题型二 讨论抽象函数在某点的可导性63

题型三 用导数定义求某些分式函数的极限65

§1.3.2 讨论分段函数的可导性及导函数的连续性65

题型一 讨论分段函数的可导性65

题型二 讨论分段函数的导函数的连续性66

题型一 讨论含因子｜x-a｜的函数的可导性68

§1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性68

题型二 讨论含绝对值函数｜f（x）｜的函数的可导性69

§1.3.4 求一元函数的导数和微分71

题型一 求复合函数的导数71

题型二 求反函数的导数72

题型三 求显函数的导数73

题型四 求隐函数的导数73

题型五 求分段函数的导数75

题型六 求幂指函数f(x)g（z）的导数76

题型七 求某些简单函数的高阶导数77

题型八 求一元函数的微分80

题型一 证明存在？∈（a,b），使g(？)f′(？)+h(？)f(？)=081

§1.3.5 利用罗尔定理证明中值等式命题81

题型二 证明存在？∈（a,b），使g(？)f′(？)+h(？)f(？)=Q(？)83

题型三 证明存在？∈（a,b），使G(？)=084

题型四 证明题设中有定积分等式的中值等式85

题型五 证明存在？∈（a,b），使F(k)(？)=0(k≥2)87

题型六 改变（一般缩小）使用罗尔定理区间，证明中值等式88

题型七 证明两个中值所满足的中值等式89

§1.3.6 证明与区间端点函数值有关的中值命题90

§1.3.7 利用导数讨论函数性态92

题型一 证明函数在区间Ⅰ上是一个常数92

题型二 证明（判别）函数的单调性93

题型三 利用极限式讨论函数是否取得极值95

题型四 求函数的单调区间、极值、最值97

题型五 求曲线凹凸区间与拐点101

题型六 求曲线的渐近线103

题型七 利用函数性态作函数图形105

§1.3.8 讨论方程根的个数108

题型一 讨论不含参数的方程根的个数108

题型二 讨论含参数的方程根的个数110

§1.3.9 利用导数证明不等式112

题型一 证明含或可化为函数改变量的不等式112

题型二 利用函数单调增加证明不等式命题112

题型三 利用函数单调减少证明不等式命题114

题型四 利用函数的最值证明不等式命题115

题型一 求曲线的切线方程和法线方程117

§1.3.10 导数几何意义的应用117

题型二 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题118

题型三 求解与两曲线相切的有关问题120

§1.3.11 导数在经济活动分析中的应用120

题型一 计算弹性122

题型二 计算边际函数123

题型三 求解与边际和弹性有关的应用题124

题型四 求解经济应用中一元函数的最值问题125

习题1.3127

第四章 一元函数积分学131

§1.4.1 原函数与不定积分的关系131

题型一 已知某函数，求其原函数131

题型三 已知某函数的原函数，求该函数的有关函数的不定积分134

题型二 已知某函数的一个原函数，求该函数134

题型四 已知f（x）的一个原函数，求？xkf(l)(x)dx135

§1.4.2 计算不定积分136

题型一 计算被积函数仅是一个（或一类）函数的不定积分136

题型二 计算？f(x)g(x)dx137

题型三 计算简单无理函数的不定积分138

题型四 求？f(x)dx141

题型五 求？dx142

题型六 简化计算有理真分式的不定积分144

题型七 求三角函数的不定积分146

题型一 利用其几何意义计算定积分147

题型二 计算对称区间上的定积分147

§1.4.3 利用定积分性质计算定积分147

题型三 计算周期函数的定积分148

题型四 比较和估计定积分的大小149

题型五 求解含定积分的函数方程151

题型六 计算几类须分子区间积分的定积分152

题型七 计算含参数的定积分155

题型八 计算几类需换元计算的定积分156

题型九 计算被积函数含抽象函数导数的定积分157

§1.4.4 求解与变限积分有关的问题158

题型一 求变限积分的导数158

题型二 求变限积分的定积分159

题型三 讨论变限积分函数的性态160

题型四 由变限积分所满足的函数方程，求未知函数或其积分值164

§1.4.5 证明定积分等式166

题型一 证明定积分的变换公式166

题型二 证明定积分中值等式168

§1.4.6 证明定积分不等式169

§1.4.7 计算广义积分172

题型一 计算无穷区间上的广义积分172

题型二 判别？∞？与？∞？（a>0）的敛散性175

题型三 计算无界函数的广义积分175

题型四 判别？与？的敛散性177

§1.4.8 定积分的应用178

题型一 求曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积178

题型二 计算非曲边梯形的面积及其绕坐标轴旋转的体积181

题型三 由面积或旋转体体积满足的条件求参数值184

题型四 由某曲线所围图形的面积或其旋转体体积反求该曲线188

题型五 求函数在区间上的平均值188

题型六 由变化率求原经济函数或其变动值189

题型七 由边际函数求（最优）总函数190

习题1.4191

第五章 多元函数微积分学196

§1.5.1 二（多）元函数微分学中的几个概念196

§1.5.2 计算偏导数与全微分199

题型一 计算显函数的偏导数199

题型二 求带函数记号的复合函数偏导数201

题型三 计算由一个方程确定的隐函数的导数204

题型四 求由方程组确定的隐函数的导数206

题型五 求二元函数的全微分208

§1.5.3 多元函数微分学的应用210

题型一 求（证明）二元函数及其偏导数满足的方程210

题型二 求闭域上连续的二元函数的最值210

题型三 求解经济应用中的（无）条件最（极）值问题212

§1.5.4 交换二次积分次序与转换二次积分216

题型一 交换二（累）次积分的积分次序216

题型二 转换二次积分218

§1.5.5 用直角坐标系计算二重积分219

题型一 根据积分区域选择积分次序计算二重积分219

题型二 根据被积函数选择积分次序计算二重积分221

题型三 利用奇偶性和对称性计算二重积分222

题型四 分块计算二重积分225

题型五 计算无界区域上较简单的二重积分227

§1.5.6 用极坐标系计算二重积分230

题型一 计算圆域x2+y2≤a（a>0）上的二重积分230

题型二 计算圆域x2+y2≤2ax（a>0）上的二重积分231

题型三 计算圆域x2+y2≤-2ax（a>0）上的二重积分232

题型四 计算圆域x2+y2≤2byby（b>0）上的二重积分233

题型五 计算圆域x2+y2≤-2by（b>0）上的二重积分235

题型六 计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c（a,b>0）上的二重积分236

习题1.5238

第六章 常微分方程241

题型一 求解变量可分离的一阶线性微分方程242

§1.6.1 求解三类一阶线性微分方程242

题型二 求解一阶齐次微分方程y′=f（y/x）243

题型三 求解一阶线性非齐次方程245

题型四 求解以x为因变量，y为自变量的一阶线性方程248

§1.6.2 常微分方程的简单应用249

题型一 求解未知函数出现在变限积分中的函数方程249

题型二 求解未知函数出现在二重积分中的函数方程250

题型三 求解满足一定条件的函数方程250

题型四 求解与几何量有关的问题251

题型五 求解简单的经济应用题252

习题1.6253

§2.1.1 计算具体行列式255

题型一 计算非零元素（主要）在一条或两条对角线上的行列式255

第一章 计算行列式255

第二篇 线性代数255

题型二 计算非零元素在三条线上的行列式257

题型三 计算行（列）和相等的行列式260

题型四 求代数余子式之和的值261

§2.1.2 计算抽象矩阵的行列式264

题型一 求由行（列）向量表示的矩阵的行列式的值265

题型二 计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式267

题型三 计算含零子块的四分块矩阵的行列式268

题型四 利用特征值计算矩阵行列式269

习题2.1270

题型二 已知cAB+aA+bB+dE=O，证明A+eE（或B+eE）的可逆性，其中a,b,c,d,e为常数272

题型一 证明矩阵A可逆，且A-1=B272

第二章 矩阵272

§2.2.1 证明矩阵的可逆性272

题型三 证明和（差）矩阵的可逆性274

§2.2.2 矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法275

§2.2.3 求解矩阵方程279

题型一 求解只含一个未知矩阵的矩阵方程279

题型二 求解含多个未知矩阵的矩阵方程280

题型三 求解AX=B或XA=B，其中A为不可逆矩阵282

§2.2.4 计算n阶矩阵方幂的方法283

§2.2.5 求矩阵的秩288

题型一 求元素具体给定的矩阵的秩288

题型二 求抽象矩阵的秩289

题型一 用初等矩阵表示相应的初等变换292

§2.2.6 初等变换及其应用292

题型二 利用初等矩阵的性质计算矩阵294

§2.2.7 分块矩阵的乘法运算295

§2.2.8 证明一些特殊矩阵运算后所得矩阵的性质297

习题2.2299

第三章 向量302

§2.3.1 判定向量组线性相关、线性无关302

题型一 用线性相关性定义做选择题、填空题302

题型二 判定分量已知的向量组的线性相关性304

题型三 证明两类向量组的线性相关性306

题型一 判定分量已知的向量能否由向量组线性表出311

§2.3.2 判定向量能否由向量组线性表出311

题型二 判断一抽象向量能否由向量组线性表出313

§2.3.3 求向量组的秩与极大线性无关组314

题型一 求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组315

题型二 将向量用极大线性无关组线性表出316

题型三 证明两向量组的秩的关系318

§2.3.4 证明两向量组等价320

§2.3.5 将线性无关向量组正交规范化322

习题2.3323

§2.4.1 判定线性方程组解的情况325

题型一 齐次线性方程组解的判定325

第四章 线性方程组325

题型二 非齐次线性方程组解的判定327

§2.4.2 由其解反求方程组的参数或其系数矩阵331

题型一 已知AX=0的解的情况，反求A中参数331

题型二 已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数332

题型三 由方程组解的情况确定其系数矩阵333

§2.4.3 证明一组向量为基础解系的常用方法334

§2.4.4 基础解系和特解的简便求法335

§2.4.5 求解含参数的线性方程组337

题型一 求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组337

题型二 求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组339

题型三 求解参数仅出现在常数项的线性方程组340

题型一 A没有具体给出，求AX=0的通解341

§2.4.6 求抽象线性方程组的通解341

题型二 已知AX=b的特解，求其通解342

题型三 已知A的列向量的线性关系式，求AX=b的通解344

§2.4.7 求两线性方程的非零公共解345

题型一 已知两线性方程组，求其参数使其有非零公共解345

题型二 已知一方程组与另一方程组的通解，求其参数使其有非零公共解346

习题2.4349

第五章 矩阵的特征值、特征向量352

§2.5.1 求矩阵的特征值、特征向量352

题型一 求元素已给出的矩阵的特征值、特征向量352

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量355

题型一 由特征值和（或）特征向量反求矩阵中的参数358

§2.5.2 由特征值和（或）特征向量反求矩阵或矩阵中的参数358

题型二 已知特征值、特征向量反求矩阵361

§2.5.3 已知一矩阵的特征值、特征向量，求相关矩阵的特征值、特征向量362

§2.5.4 判别矩阵能否相似对角化364

题型一 判别元素给定的矩阵能否对角化364

题型二 判别抽象矩阵能否对角化366

§2.5.5 相似矩阵性质的简单应用367

题型一 判定两矩阵是否相似368

题型二 计算相似矩阵的特征值368

题型三 计算相似矩阵的行列式368

题型四 求相似矩阵的秩369

题型五 确定相似矩阵中的参数369

题型一 矩阵A可相似对角化，求A中参数及可逆阵P，使 P-1 AP=diag(λ1，λ2，…，λn)370

§2.5.6 将矩阵化为相似对角矩阵的计算370

题型二 A为实对称矩阵，求A中参数及正交矩阵Q，使 Q-1 AQ=QTAQ=diag（λ1，λ2，…，λn）373

习题2.5375

第三篇 概率论377

第一章 随机事件和概率377

§3.1.1 随机事件间的关系及运算377

题型一 描绘随机试验的样本空间377

题型二 用式子表示事件关系及其运算378

题型三 利用事件运算的性质简化事件算式378

题型四 求满足一定条件的事件关系379

§3.1.2 直接计算随机事件的概率380

题型一 计算古典型概率380

题型二 计算几何型概率383

题型三 计算伯努利概型中事件的概率385

§3.1.3 间接计算随机事件的概率386

题型一 计算和事件的概率386

题型二 计算差事件的概率387

题型三 计算积事件的概率387

题型四 求与包含关系有关的事件的概率388

题型五 求与条件概率有关的事件的概率388

题型六 求与他事件有关的单个事件的概率389

题型七 判别或证明事件概率不等式390

§3.1.4 几个计算概率公式的实际应用391

题型一 用加法公式求解实际应用题391

题型二 用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题392

题型三 用全概公式和逆概（贝叶斯）公式求解实际应用题393

题型四 利用抽签原理计算事件概率395

§3.1.5 事件独立性的判别方法396

习题3.1398

第二章 一维随机变量及其分布401

§3.2.1 分布列、概率密度及分布函数性质的应用401

题型一 判别分布列、概率密度及分布函数402

题型二 已知随机变量的分布，确定有关参数或所满足的条件403

§3.2.2 求分布列（概率分布）、概率密度及分布函数405

题型一 求概率分布（分布律）及其分布函数405

题型二 求连续型随机变量的分布函数408

题型三 求概率密度409

§3.2.3 利用常见分布计算事件的概率410

题型一 利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率410

题型二 利用泊松分布计算事件的概率412

题型三 利用均匀分布计算事件的概率413

题型四 利用指数分布计算事件的概率414

题型五 利用正态分布计算事件的概率417

§3.2.4 求随机变量函数的分布421

题型一 求离散型随机变量函数的概率分布421

题型二 求连续型随机变量函数的分布422

习题3.2425

§3.3.1 求二维随机变量的分布428

题型一 求二维离散型随机变量的联合概率分布（联合分布律）428

第三章 二维随机变量的联合概率分布428

题型二 求二维随机变量的边缘分布432

题型三 由联合分布、边缘分布求条件分布434

题型四 由条件分布反求联合分布、边缘分布439

题型五 已知分区域定义的联合密度，求其分布函数440

§3.3.2 判别随机变量的独立性441

题型一 判别两离散型随机变量的独立性441

题型二 判别两连续型随机变量的独立性443

§3.3.3 计算二维随机变量取值的概率449

题型一 求二维离散型随机变量在某范围内取值的概率449

题型二 求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率449

题型三 求与max（X,Y）或（和）min（X,Y）有关的概率451

题型四 求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率452

题型五 已知系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率，反求该随机变量的分布454

§3.3.4 求二维随机变量函数的分布454

题型一 已知（X,Y）的联合分布律，求Z=g（X,Y）的分布律454

题型二 已知（X,Y）的概率密度，求其和、差、积、商的分布456

题型三 已知X,Y的分布求max（X,Y）与min（X,Y）的分布459

习题3.3463

第四章 随机变量的数字特征465

§3.4.1 求一维随机变量的数字特征465

题型一 求随机变量的数学期望与方差465

题型二 求随机变量函数的数学期望471

题型三 计算随机变量的矩475

题型一 已知（X,Y）的联合密度（或联合分布律），求EX、EY、DX、DY476

§3.4.2 求二维随机变量的数字特征476

题型二 求（X,Y）的函数g（X,Y）的数学期望和方差478

题型三 计算协方差和相关系数480

§3.4.3 计算两类分布的数字特征484

题型一 计算正态分布的数字特征484

题型二 计算Z=max（X,Y）或（和）W=min（X,Y）的数字特征487

§3.4.4 讨论随机变量相关性与独立性的关系489

题型一 确定两随机变量相关与不相关489

题型二 讨论相关性与独立性的关系490

§3.4.5 求解两类综合应用题型492

题型一 求解涉及随机变量分布、期望和方差的实际应用题492

题型二 求解涉及概率论与其他数学分支间的知识点的综合应用题495

习题3.4497

第五章 中心极限定理500

§3.5.1 用切比雪夫不等式估计事件的概率500

§3.5.2 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理的应用502

题型一 近似计算有关随机事件的概率503

题型二 已知随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围504

§3.5.3 列维－林德伯格中心极限定理的应用505

题型一 应用列维－林德伯格中心极限定理之条件、结论解题506

题型二 近似计算n个随机变量之和取值的概率507

题型三 已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n508

习题3.5509

习题答案与提示510