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第一篇 微 积分1

第一章 函数、极限与连续1

1.1函数1

一、考核内容要点1

二、补充公式与结论5

三、典型问题与方法技巧5

1.考查函数各种特性问题5

2.函数复合问题6

1.2极限7

一、考核内容要点7

二、补充公式与结论11

三、典型问题与方法技巧12

1.考查极限概念及性质问题12

2.求极限问题13

3.关于无穷小阶的问题24

1.3函数的连续性与间断点26

一、考核内容要点26

二、典型问题与方法技巧27

1.判断函数f（x）在某点x0处连续与间断问题27

2.利用闭区间上连续函数性质证明问题29

强化训练（一）31

第二章 一元函数微分学35

2.1导数与微分35

一、考核内容要点35

二、补充公式与结论39

三、典型问题与方法技巧40

1.考查导数、微分概念的问题40

2.导数与微分的计算问题43

3.求高阶导数问题46

4.利用导数求平面曲线的切线方程、法线方程问题49

2.2微分中值定理51

一、考核内容要点51

二、典型问题与方法技巧53

1.利用罗尔定理证明中值问题54

2.利用拉格朗日中值定理证明中值问题57

3.利用柯西中值定理证明中值问题59

4.利用泰勒公式证明中值问题60

5.综合题61

2.3导数应用63

一、考核内容要点63

二、典型问题与方法技巧66

1.函数的单调性、单调区间及极值问题66

2.函数曲线的凹凸区间、拐点及渐近线问题70

3.方程实根（函数零点，两曲线交点）问题73

4.不等式的证明问题74

5.导数在经济中的应用问题77

强化训练（二）78

第三章 一元函数积分学84

3.1不定积分84

一、考核内容要点84

二、典型问题与方法技巧89

1.关于原函数与不定积分的基本概念性问题89

2.不定积分的计算问题90

3.综合题91

3.2定积分93

一、考核内容要点93

二、补充公式与结论96

三、典型问题与方法技巧97

1.关于定积分概念及性质的问题97

2.关于变限积分的问题99

3.利用基本积分公式及积分法计算定积分101

4.几种重要类型被积函数的积分103

5.定积分证明问题105

6.反常积分问题107

3.3定积分应用108

一、考核内容要点108

二、典型问题与方法技巧110

1.求平面图形面积问题110

2.求旋转体的体积问题111

强化训练（三）112

第四章 多元函数微分学117

4.1多元函数的极限与连续、偏导数与全微分117

一、考核内容要点117

二、典型问题与方法技巧119

1.关于多元函数连续性、可导性及可微性问题119

2.求多元复合函数的偏导数或全微分问题122

3.求方程确定的隐函数的偏导数、全微分问题125

4.2多元函数的极值与最值127

一、考核内容要点127

二、典型问题与方法技巧128

1.求多元函数无条件极值问题128

2.求多元函数条件极值问题130

3.求多元函数在闭区域上的最值问题131

强化训练（四）132

第五章 二重积分136

一、考核内容要点136

二、典型问题与方法技巧140

1.交换积分次序问题140

2.利用基本方法计算二重积分142

3.被积函数为分段函数及隐含分段函数的二重积分问题144

4.综合题145

强化训练（五）147

第六章 无穷级数150

6.1数项级数150

一、考核内容要点150

二、补充公式与结论152

三、典型问题与方法技巧153

1.判定数项级数收敛性问题153

2.数项级数求和问题157

6.2幂级数158

一、考核内容要点158

二、典型问题与方法技巧163

1.求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域问题163

2.求函数的幂级数展开式问题164

3.求幂级数的和函数与数项级数求和问题166

强化训练（六）169

第七章 常微分方程与差分方程173

一、考核内容要点173

二、典型问题与方法技巧176

1.求解一阶微分方程问题176

2.一阶常系数线性差分方程问题183

3.求解高阶常系数线性微分方程问题183

强化训练（七）187

第二篇 线性代数191

第一章 行列式191

一、考核内容要点191

二、补充公式与结论196

三、典型问题与方法技巧198

1.关于余子式、代数余子式问题198

2.数值型行列式的计算问题199

3.抽象型行列式的计算问题203

4.克拉默法则应用问题206

强化训练（一）208

第二章 矩阵211

一、考核内容要点211

二、补充公式与结论217

三、典型问题与方法技巧219

1.有关矩阵基本运算的问题219

2.求数值型矩阵的逆矩阵问题221

3.求抽象型矩阵的逆矩阵问题223

4.讨论（证明）矩阵可逆性问题224

5.解矩阵方程问题225

6.有关初等变换和初等矩阵问题227

7.有关矩阵秩的问题229

强化训练（二）233

第三章向量237

一、考核内容要点237

二、补充公式与结论240

三、典型问题与方法技巧241

1.判别数值型向量组的线性相关性问题241

2.判别抽象型向量组的线性相关性问题243

3.考查数值型向量（组）的线性表示及等价性问题246

4.考查抽象型向量（组）的线性表示问题250

5.向量组的极大无关组与秩的问题252

强化训练（三）254

第四章 线性方程组258

一、考核内容要点258

二、补充公式与结论264

三、典型问题与方法技巧264

1.考查线性方程组解的判定、性质与结构问题264

2.有关基础解系的论证问题268

3.数值型线性方程组求解问题270

4.抽象型线性方程组求解问题274

5.求两个线性方程组的公共解的问题277

6.讨论两个线性方程组解的关系问题280

强化训练（四）282

第五章 矩阵的特征值和特征向量288

一、考核内容要点288

二、补充公式与结论293

三、典型问题与方法技巧293

1.求数值型矩阵的特征值、特征向量问题293

2.求抽象型矩阵的特征值、特征向量问题296

3.特征值、特征向量的逆问题298

4.矩阵相似对角化问题300

5.矩阵相似的判定问题303

6.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化问题306

7.特征值和特征向量的应用问题308

强化训练（五）312

第六章 二次型318

一、考核内容要点318

二、补充公式与结论321

三、典型问题与方法技巧321

1.考查二次型的秩及正、负惯性指数等基本概念性问题321

2.化二次型为标准形问题323

3.考查二次型或对称矩阵的正定性问题329

强化训练（六）330

第三篇 概率论与数理统计334

第一章 随机事件与概率334

一、考核内容要点334

二、补充公式与结论337

三、典型问题与方法技巧338

1.考查随机事件的关系与运算及其逆问题338

2.利用四种概型求概率问题340

3.利用概率的公式、性质求概率问题344

强化训练（一）346

第二章 随机变量及其分布349

一、考核内容要点349

二、补充公式与结论353

三、典型问题与方法技巧354

1.考查随机变量概率分布（分布函数、概率密度、分布律）的概念性问题及确定其中未知参数的问题354

2.求随机变量的概率分布问题356

3.利用已知概率分布求概率问题359

4.求随机变量函数的分布问题362

强化训练（二）368

第三章 多维随机变量及其分布373

一、考核内容要点373

二、补充公式与结论380

三、典型问题与方法技巧380

1.求二维随机变量的概率分布（联合分布、边缘分布、条件分布）及其中未知参数问题380

2.利用二维概率分布求概率问题389

3.求二维随机变量函数的分布问题394

强化训练（三）399

第四章 随机变量的数字特征405

一、考核内容要点405

二、补充公式与结论407

三、典型问题与方法技巧407

1.求随机变量的数学期望与方差问题407

2.求随机变量函数的数学期望与方差问题410

3.求协方差、相关系数及讨论随机变量相关性问题416

4.数字特征应用题420

强化训练（四）421

第五章 大数定律与中心极限定理425

一、考核内容要点425

二、典型问题与方法技巧427

1.利用切比雪夫不等式估算概率问题427

2.考查大数定律的问题428

3.考查中心极限定理的问题429

强化训练（五）431

第六章 数理统计434

一、考核内容要点434

二、典型问题与方法技巧438

1.求统计量的分布问题438

2.求统计量的数字特征问题440

3.求参数的点估计问题443

强化训练（六）448