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第1章 数学课堂教学的艺术1

1.1 数学教师的语言艺术1

1.1.1 准确性与精炼性3

1.1.2 明确性和生动性6

1.1.3 逻辑性和形象性7

1.1.4 启发性和科学性8

1.2 引入的创造性与艺术性11

1.2.1 从实例看引入的创造性与艺术性11

1.2.2 创设情境引入14

1.2.3 先猜后证引入14

1.2.4 类比引入15

1.3 再谈教学中的导入17

1.3.1 温故导课可知新18

1.3.2 设疑导课知究竟19

1.3.3 点拨导课知联系20

1.3.4 先猜后证导课知因果21

1.3.5 悬念导课可明事理21

1.3.6 实践导课理顺思路22

1.3.7 反驳导课逻辑性强22

1.3.8 用悖论导课理清思路23

1.4 设计提问的艺术23

1.4.1 数学教学中设计提问的基本要求24

1.4.2 数学教学中设计提问的方法28

1.5 数学教学中如何设计提问30

1.5.1 好的提问和坏的提问31

1.5.2 设问时问题的选择32

1.5.3 设问时问题的提法33

1.6 演示、观赏与数学美37

1.6.1 启发性38

1.6.2 科学性38

1.6.3 实践性40

1.6.4 目的性41

1.7 高中数学课堂教学如何突出重点44

1.7.1 什么是重点44

1.7.2 突出重点的原则46

1.7.3 突出重点的方法48

1.8 数学教学中如何培养学生的理解能力52

1.8.1 观察与分析是理解的基础53

1.8.2 抽象与概括是理解的关键53

1.8.3 比较是理解的重要方法54

1.8.4 学生理解知识的衡量标准55

1.9 数学课堂教学也要充满人文气息57

1.9.1 引入要激发学生学数学的兴趣，感知人文气息57

1.9.2 用比喻深入浅出讲解，突出人文气息59

1.9.3 数学思想方法的人文诠释，欣赏数学的精髓60

1.9.4 数学公式记忆的人文气息，理解公式来源61

1.9.5 提问引导数学思维，鉴别数学的美感63

1.10 高中数学课堂教学中的板书65

1.10.1 板书的作用65

1.10.2 板书的原则68

1.10.3 板书的方法69

1.11 初中数学课堂教学中的板书73

1.11.1 板书的作用73

1.11.2 板书的原则75

1.11.3 板书的方法76

1.12 数学教学中的比喻79

1.12.1 数学教学中比喻的作用79

1.12.2 数学教学中打比喻的三性原则：启发性、趣味性、科学性79

1.12.3 比喻的分类：明喻、借喻、暗喻79

1.12.4 数学教学中的比喻80

思考题82

第2章 课堂教学中的审美教育与数学美84

2.1 数学解题教学与数学美85

2.1.1 解题的和谐美是解题者苦苦追求的结果85

2.1.2 解题的思维美是解题者思维加工的结果86

2.1.3 解题的方法美是解题者联想的结果88

2.1.4 解（证）题的教学美是教学法加工的结果89

2.2 从一道高考试题的开放性教学看数学美90

2.2.1 从一道高考试题的解答看思维美90

2.2.2 对称美是观察与联想的结果91

2.2.3 方法美是类比联想的结果92

2.2.4 教学美是教学法加工的结果93

2.3 数学教学中审美能力的培养94

2.3.1 审美感受能力的培养95

2.3.2 审美鉴赏能力的培养96

2.3.3 审美想象能力的培养97

2.3.4 审美创造能力的培养98

2.4 初中数学竞赛题的解题策略与审美欣赏99

2.4.1 灵活运用倒序法，掌握化归策略，品赏简洁美100

2.4.2 巧妙观察图形，运用特殊化与普遍化策略，鉴别对称美100

2.4.3 全面领会知识，实施顺推与逆推策略，感知奇异美101

2.4.4 既分解又组合，恰当用局部与整体策略，探索思维美102

2.4.5 广泛发挥想象，识别类比与联想策略，欣赏和谐美103

2.5 初中数学解题的构造性策略与数学美105

2.5.1 构造方程解题，理解思维美105

2.5.2 构造方程组的一元二次方程解题，发现奇异美106

2.5.3 构造函数证题，感知方法美107

2.5.4 构造图形解题，观察对称美108

2.5.5 构造公式解题，欣赏和谐美108

2.5.6 构造反例，设计教学美109

思考题109

第3章 形式逻辑在数学教学中的应用111

3.1 高中概念教学的“五要五不要”111

3.1.1 要讲清概念的内涵与外延，不要混淆概念112

3.1.2 要讲清概念的性质意义与判定意义，不要将它们混为一谈114

3.1.3 要讲清概念的发生过程，不要死记概念的定义114

3.1.4 要注意数形结合地理解概念，不要把数与形割裂开来115

3.1.5 要多通过比较来识别容易混淆的概念，不要把它们割裂开来115

3.2 数学教学中必须遵循的思维规律117

3.2.1 运用同一律，不准偷换概念117

3.2.2 认识矛盾律，防止判断自相矛盾118

3.2.3 应用排中律，深刻理解反证法119

3.2.4 论据要确定，正确使用充足理由律121

3.3 神奇的类比透彻的理解122

3.3.1 长方体与矩形中两个三角公式的类比123

3.3.2 长方体与矩形中二等分体积与两等分面积都具无限性的类比123

3.3.3 直三面角被截成棱长相等正棱锥的体积问题124

3.3.4 平面四边形与空间四边形的有关性质的类比125

3.3.5 空间中两个数学题的类比126

3.3.6 数形类比127

3.4 辅助线引法的类比激活策略129

3.4.1 降低难度的类比129

3.4.2 结构类比131

3.4.3 横向类比132

3.5 巧用“三点定形法”，寻找乘积式的证题思路135

3.5.1 什么是“三点定形法”135

3.5.2 “横挑鼻子竖挑眼”136

3.5.3 代换寻找“三点定形法”136

3.6 类比发现与想象力138

3.6.1 从一道课本习题想起的两个类比题138

3.6.2 类比发现两个面积题（平面到平面的类比）139

3.6.3 平面到空间的类比141

3.7 一道课本习题的多种证明方法142

3.8 初中数学教与学中的反驳145

3.8.1 反驳论据146

3.8.2 反驳论证147

3.8.3 反驳论题148

思考题149

第4章 课堂中的解题教学151

4.1 数学解题的“以退求进”策略151

4.1.1 从一般退到特殊152

4.1.2 从抽象退到具体152

4.1.3 从复杂退到简单153

4.1.4 从陌生退到熟悉154

4.1.5 从整体退到局部154

4.2 高中数学解题的隐含条件的挖掘156

4.2.1 仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件157

4.2.2 严谨地审视求证的结论，从推理中挖掘隐含条件158

4.2.3 严格查看定义与性质，从概念中挖掘隐含条件159

4.2.4 联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件160

4.2.5 明确函数的定义域和值域，从推理中挖掘隐含条件161

4.2.6 类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件161

4.2.7 联系观察几何图形，从数形结合中挖掘隐含条件162

4.3 先猜后证的数学思想在高中教学中的应用163

4.3.1 函数表达式中的先猜后证163

4.3.2 数列的先猜后证165

4.3.3 函数极值的先猜后证165

4.3.4 数学规律的先猜后证166

4.3.5 数学归纳法中的先猜后证168

4.4 一个重要公式的证明及其广泛应用168

4.4.1 判定三角形的面积大小169

4.4.2 判定三角形的形状170

4.4.3 证明不等式171

4.4.4 变更条件，使隐含条件明朗化172

4.5 高中数学教学中的设计题组——兼论不等式的证明173

4.5.1 知识在储备库里的记忆及错误题组，读者指错174

4.5.2 由浅入深的递进式题组175

4.5.3 类比探究式题组177

4.5.4 变式拓展式题组178

4.5.5 联想扩散式题组178

4.5.6 先猜后证式题组179

4.6 均值不等式求最值的五个误区181

4.6.1 误“等”是忽视均值不等式取等号的条件181

4.6.2 误“定”是忽视其定值条件182

4.6.3 误“拆”是忽视拆项过程中，既不能满足定值的条件，又不能满足等号取到的条件182

4.6.4 误“正”是忽视其使用前提条件，各项为正数183

4.6.5 误“传”是指两次以上使用均值不等式时，误将等号传递183

思考题185

第5章 数学教学、学习方法与数学观186

5.1 数学的教学、学习方法与数学观187

5.1.1 数学的学习方法的重要性187

5.1.2 数学的学习方法187

5.1.3 数学的学习方法要以智力结构为目标191

5.2 教学生分析困难193

5.2.1 理解性的困难193

5.2.2 构造性的困难197

5.2.3 运算性的困难198

5.2.4 判断性的困难200

5.3 启发数学思维的艺术200

5.3.1 什么是启发思维的艺术200

5.3.2 在数学开放题中训练学生的创造性数学思维202

5.3.3 启发数学思维艺术的基本要求205

5.3.4 启发数学思维艺术的方法210

5.4 朱世杰恒等式及其应用214

5.4.1 用朱世杰恒等式求数列的和215

5.4.2 用朱世杰恒等式求偶数列（奇数列）的幂之和216

5.4.3 用朱世杰恒等式解高考题217

5.4.4 用证明朱世杰恒等式的类似方法证明全国统编教材的习题218

思考题220