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第1章 函数与极限1

1.1 考试内容与要求1

1.1.1 考试内容1

1.1.2 考试要求1

1.2 知识要点1

1.2.1 基本概念1

1.2.2 基本性质3

1.2.3 基本理论4

1.2.4 重要结论及基本计算方法5

1.3 基础例题与范例精解6

1.3.1 函数概念的例题与解析6

1.3.2 求极限的例题与解析7

1.3.3 由函数极限和连续性求函数中待定系数的例题与解析15

1.3.4 无穷小比较的例题与解析16

1.3.5 函数连续性判断的例题与解析18

1.3.6 闭区间上连续函数性质的例题与解析19

1.4 自测题20

1.4.1 填空题自测20

1.4.2 选择题自测20

1.4.3 计算题自测21

1.4.4 证明题自测21

1.5 自测题答案22

1.5.1 填空题答案22

1.5.2 选择题答案22

1.5.3 计算题答案23

1.5.4 证明题答案23

第2章 导数与微分24

2.1 考试内容与要求24

2.1.1 考试内容24

2.1.2 考试要求24

2.2 知识要点24

2.2.1 基本概念24

2.2.2 基本性质25

2.2.3 基本理论26

2.2.4 重要结论及基本计算方法27

2.3 基础例题与范例精解28

2.3.1 函数导数计算的例题与解析28

2.3.2 利用导数定义求极限的例题与解析35

2.3.3 函数可导性讨论的例题与解析36

2.3.4 导数应用的例题与解析37

2.3.5 函数微分的例题与解析38

2.4 自测题39

2.4.1 填空题自测39

2.4.2 选择题自测39

2.4.3 计算题自测40

2.4.4 证明题自测40

2.5 自测题答案40

2.5.1 填空题答案40

2.5.2 选择题答案41

2.5.3 计算题答案41

2.5.4 证明题答案43

第3章 微分中值定理与导数的应用44

3.1 考试内容与要求44

3.1.1 考试内容44

3.1.2 考试要求44

3.2 知识要点44

3.2.1 基本概念44

3.2.2 基本性质45

3.2.3 基本理论46

3.2.4 重要结论及基本计算方法47

3.3 基础例题与范例精解48

3.3.1 中值定理相关的例题与解析48

3.3.2 洛必达法则应用的例题与解析53

3.3.3 不等式证明的例题与解析55

3.3.4 函数单调性的例题与解析57

3.3.5 函数极值和最值的例题与解析57

3.3.6 曲线凹凸性和拐点的例题与解析59

3.4 自测题59

3.4.1 填空题自测59

3.4.2 选择题自测60

3.4.3 计算题自测60

3.4.4 证明题自测61

3.5 自测题答案61

3.5.1 填空题答案61

3.5.2 选择题答案61

3.5.3 计算题答案62

3.5.4 证明题答案64

第4章 不定积分65

4.1 考试内容与要求65

4.1.1 考试内容65

4.1.2 考试要求65

4.2 知识要点65

4.2.1 基本概念65

4.2.2 基本性质66

4.2.3 基本理论66

4.2.4 基本积分公式67

4.3 基础例题与范例精解67

4.3.1 不定积分概念与性质的例题与解析67

4.3.2 第一类换元法的例题与解析72

4.3.3 第二类换元法的例题与解析75

4.3.4 分部积分法的例题与解析82

4.3.5 有理函数积分的例题与解析85

4.4 自测题88

4.4.1 填空题自测88

4.4.2 选择题自测88

4.4.3 计算题自测89

4.4.4 证明题自测89

4.5 自测题答案89

4.5.1 填空题答案89

4.5.2 选择题答案90

4.5.3 计算题答案90

4.5.4 证明题答案92

第5章 定积分93

5.1 考试内容与要求93

5.1.1 考试内容93

5.1.2 考试要求93

5.2 知识要点93

5.2.1 基本概念93

5.2.2 基本性质95

5.2.3 基本理论96

5.2.4 奇偶函数与周期函数的积分性质97

5.3 基础例题与范例精解97

5.3.1 定积分的概念与性质的例题与解析97

5.3.2 微积分基本公式的例题与解析100

5.3.3 定积分的换元法和分部积分法的例题与解析101

5.3.4 广义积分的例题与解析105

5.4 自测题107

5.4.1 填空题自测107

5.4.2 选择题自测108

5.4.3 计算题自测108

5.4.4 证明题自测109

5.5 自测题答案109

5.5.1 填空题答案109

5.5.2 选择题答案109

5.5.3 计算题答案110

5.5.4 证明题答案112

第6章 定积分的应用113

6.1 考试内容与要求113

6.1.1 考试内容113

6.1.2 考试要求113

6.2 知识要点113

6.3 基础例题与范例精解114

6.3.1 定积分的几何应用的例题与解析114

6.3.2 定积分的物理应用的例题与解析118

6.4 自测题121

6.4.1 填空题自测121

6.4.2 选择题自测121

6.4.3 计算题自测122

6.5 自测题答案123

6.5.1 填空题答案123

6.5.2 选择题答案123

6.5.3 计算题答案123

第7章 微分方程126

7.1 考试内容与要求126

7.1.1 考试内容126

7.1.2 考试要求126

7.2 知识要点126

7.2.1 基本概念126

7.2.2 基本方法127

7.3 基础例题与范例精解131

7.3.1 微分方程的基本概念的例题与解析131

7.3.2 可分离变量的微分方程的例题与解析132

7.3.3 齐次方程的例题与解析133

7.3.4 一阶线性微分方程的例题与解析134

7.3.5 可降阶的高阶微分方程的例题与解析137

7.3.6 高阶线性微分方程的例题与解析138

7.3.7 常系数齐次线性微分方程的例题与解析139

7.3.8 常系数非齐次线性微分方程的例题与解析140

7.4 自测题141

7.4.1 填空题自测141

7.4.2 选择题自测141

7.4.3 计算题自测142

7.4.4 证明题自测142

7.5 自测题答案142

7.5.1 填空题答案142

7.5.2 选择题答案143

7.5.3 计算题答案143

7.5.4 证明题答案144

第8章 向量代数与空间解析几何145

8.1 考试内容与要求145

8.1.1 考试内容145

8.1.2 考试要求145

8.2 知识要点146

8.2.1 基本概念146

8.2.2 基本性质147

8.2.3 基本理论147

8.3 基础例题与范例精解150

8.3.1 向量及其线性运算的例题与解析150

8.3.2 数量积、向量积、混合积的例题与解析152

8.3.3 曲面及其方程的例题与解析154

8.3.4 空间曲线及其方程的例题与解析157

8.3.5 平面及其方程的例题与解析160

8.3.6 空间直线及其方程的例题与解析162

8.3.7 平面、直线、点的关系165

8.3.8 点、线、面间的距离166

8.3.9 线、面间夹角168

8.4 自测题168

8.4.1 填空题自测168

8.4.2 选择题自测169

8.4.3 计算题自测169

8.4.4 证明题自测170

8.5 自测题答案170

8.5.1 填空题答案170

8.5.2 选择题答案170

8.5.3 计算题答案171

8.5.4 证明题答案172

第9章 多元函数微分法及其应用173

9.1 考试内容与要求173

9.1.1 考试内容173

9.1.2 考试要求173

9.2 知识要点174

9.2.1 基本概念174

9.2.2 基本性质175

9.2.3 基本理论176

9.3 基础例题与范例精解179

9.3.1 二元函数的概念的例题与解析179

9.3.2 二元函数极限的例题与解析180

9.3.3 多元函数连续性的例题与解析183

9.3.4 函数偏导数的例题与解析183

9.3.5 多元复合函数的偏导数的例题与解析186

9.3.6 隐函数的偏导数的例题与解析189

9.3.7 多元函数的全微分的例题与解析191

9.3.8 方向导数与梯度的例题与解析192

9.3.9 多元函数微分学的几何应用的例题与解析193

9.3.1 0多元函数的极值与最值的例题与解析196

9.4 自测题199

9.4.1 填空题自测199

9.4.2 选择题自测199

9.4.3 计算题自测200

9.4.4 证明题自测200

9.5 自测题答案200

9.5.1 填空题答案200

9.5.2 选择题答案201

9.5.3 计算题答案201

9.5.4 证明题答案202

第10章 重积分205

10.1 考试内容与要求205

10.1.1 考试内容205

10.1.2 考试要求205

10.2 知识要点205

10.2.1 基本概念205

10.2.2 基本性质206

10.2.3 基本理论207

10.2.4 基本应用208

10.3 基础例题与范例精解210

10.3.1 二重积分的几何意义的例题与解析210

10.3.2 二重积分的性质的例题与解析211

10.3.3 利用直角坐标计算二重积分的例题与解析211

10.3.4 利用极坐标计算二重积分的例题与解析213

10.3.5 改变重积分的积分次序的例题与解析214

10.3.6 利用直角坐标计算三重积分的例题与解析215

10.3.7 利用柱坐标计算三重积分的例题与解析216

10.3.8 利用球坐标计算三重积分的例题与解析217

10.3.9 重积分的应用的例题与解析219

10.4 自测题222

10.4.1 填空题自测222

10.4.2 选择题自测222

10.4.3 计算题自测223

10.4.4 证明题自测224

10.5 自测题答案224

10.5.1 填空题答案224

10.5.2 选择题答案224

10.5.3 计算题答案224

10.5.4 证明题答案225

第11章 曲线积分与曲面积分226

11.1 考试内容与要求226

11.1.1 考试内容226

11.1.2 考试要求226

11.2 知识要点226

11.2.1 基本概念226

11.2.2 基本性质228

11.2.3 基本理论229

11.2.4 基本应用231

11.3 基础例题与范例精解233

11.3.1 对称性及质心公式的例题与解析233

11.3.2 曲线积分转化为定积分的例题与解析234

11.3.3 格林公式的例题与解析236

11.3.4 积分与路径无关的例题与解析238

11.3.5 二元函数的全微分求积的例题与解析239

11.3.6 曲面积分转化为二重积分的例题与解析240

11.3.7 高斯公式的例题与解析242

11.3.8 斯托克斯公式的例题与解析244

11.3.9 曲线积分与曲面积分的应用的例题与解析245

11.4 自测题246

11.4.1 填空题自测246

11.4.2 选择题自测247

11.4.3 计算题自测248

11.4.4 证明题自测248

11.5 自测题答案248

11.5.1 填空题答案248

11.5.2 选择题答案248

11.5.3 计算题答案249

11.5.4 证明题答案250

第12章 无穷级数251

12.1 考试内容与要求251

12.1.1 考试内容251

12.1.2 考试要求251

12.2 知识要点252

12.2.1 基本概念252

12.2.2 基本理论253

12.2.3 基本方法257

12.3 基础例题与范例精解258

12.3.1 常数项级数的概念和性质的例题与解析258

12.3.2 常数项级数的审敛法的例题与解析259

12.3.3 幂级数的例题与解析266

12.3.4 函数展开成幂级数的例题与解析271

12.3.5 傅里叶级数的例题与解析273

12.3.6 一般周期函数的傅里叶级数的例题与解析275

12.4 自测题276

12.4.1 填空题自测276

12.4.2 选择题自测277

12.4.3 计算题自测277

12.4.4 证明题自测278

12.5 自测题答案278

12.5.1 填空题答案278

12.5.2 选择题答案279

12.5.3 计算题答案279

12.5.4 证明题答案282

参考文献283