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第一篇 向量代数与空间解析几何第一章 向量代数1

1.1 向量及其线性运算1

1.1.1 向量概念1

1.1.2 向量的线性运算2

1.1.3 空间直角坐标系6

1.1.4 向量的坐标表示8

1.1.5 向量的模、方向角10

习题1.111

1.2 数量积、向量积、混合积12

1.2.1 两向量的数量积12

1.2.2 两向量的向量积14

1.2.3 向量的混合积17

1.2.4 二重向量积18

习题1.219

总习题120

第二章 空间解析几何23

2.1 平面与直线23

2.1.1 平面方程23

2.1.2 直线方程26

习题2.128

2.2 关于直线与平面的基本问题29

2.2.1 距离问题29

2.2.2 两平面的关系31

2.2.3 两直线的关系31

2.2.4 直线与平面的关系32

2.2.5 平面束方程33

习题2.235

2.3 曲面36

2.3.1 曲面及其方程36

2.3.2 球面37

2.3.3 柱面38

2.3.4 旋转曲面39

2.3.5 常见的二次曲面40

习题2.343

2.4 曲线44

2.4.1 空间曲线及其方程44

2.4.2 空间曲线的投影柱面和投影曲线45

习题2.446

总习题247

第二篇 微积分50

第三章 函数、极限、连续50

3.1 集合与实数系50

3.1.1 集合及其运算50

3.1.2 常用的逻辑符号53

3.1.3 数集的上确界与下确界53

习题3.155

3.2 映射与函数57

3.2.1 映射与函数的概念57

3.2.2 函数的初等性质59

3.2.3 函数的四则运算61

3.2.4 复合函数与反函数61

3.2.5 初等函数62

习题3.265

3.3 数列的极限68

3.3.1 引例68

3.3.2 数列极限69

3.3.3 收敛数列的性质72

习题3.376

3.4 收敛数列的判别定理78

3.4.1 两边夹准则78

3.4.2 单调有界准则78

3.4.3 区间套定理80

3.4.4 Weierstrass致密性定理81

3.4.5 Cauchy收敛准则81

习题3.483

3.5 函数的极限84

3.5.1 函数极限的概念84

3.5.2 函数极限的性质87

习题3.590

3.6 两个重要极限与函数极限的存在准则93

3.6.1 两个重要极限93

3.6.2 函数极限的存在准则95

习题3.697

3.7 无穷小和无穷大98

3.7.1 无穷小及其运算98

3.7.2 无穷大100

3.7.3 无穷小的比较101

3.7.4 曲线的渐近线104

习题3.7106

3.8 函数的连续性108

3.8.1 连续与间断108

3.8.2 连续函数的运算性质与初等函数的连续性111

3.8.3 闭区间上连续函数的性质113

3.8.4 函数的一致连续性116

习题3.8117

总习题3119

第四章 导数与微分124

4.1 导数概念124

4.1.1 切线问题与速度问题124

4.1.2 导数的定义126

4.1.3 导数的几何意义128

4.1.4 函数可导性与连续性的关系130

4.1.5 单侧导数130

习题4.1132

4.2 求导法则与导数基本公式134

4.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则134

4.2.2 复合函数的求导法则135

4.2.3 反函数的求导法则138

4.2.4 高阶导数139

习题4.2145

4.3 隐函数与参数式函数的求导法则147

4.3.1 隐函数求导法则147

4.3.2 由参数方程确定的函数的求导法则151

4.3.3 极坐标式求导154

4.3.4 相关变化率问题155

习题4.3156

4.4 微分158

4.4.1 微分的概念158

4.4.2 一阶微分形式的不变性160

4.4.3 微分的运算法则161

4.4.4 高阶微分162

4.4.5 微分在近似计算中的应用163

习题4.4165

总习题4167

第五章 中值定理与导数的应用170

5.1 微分中值定理170

5.1.1 极值概念与Fermat定理170

5.1.2 Rolle中值定理171

5.1.3 Lagrange中值定理173

5.1.4 Cauchy中值定理175

习题5.1178

5.2 L'Hospital法则180

5.2.1 0/0与∞／∞型未定式180

5.2.2 其他类型未定式183

习题5.2185

5.3 Taylor公式187

5.3.1 Taylor公式187

5.3.2 几个基本初等函数的Maclaurin公式190

5.3.3 Taylor公式的应用194

习题5.3198

5.4 函数形态的研究199

5.4.1 函数的单调性199

5.4.2 函数极值的判定201

5.4.3 函数的凹凸性203

5.4.4 函数作图205

5.4.5 平面曲线的曲率207

习题5.4211

5.5 函数的最大（小）值及其应用214

习题5.5216

5.6 求函数零点的Newton迭代法217

习题5.6219

总习题5219

第六章 一元函数的不定积分223

6.1 不定积分的概念与性质223

6.1.1 原函数与不定积分的概念223

6.1.2 基本积分表225

6.1.3 不定积分的性质226

习题6.1227

6.2 换元积分法和分部积分法228

6.2.1 第一换元法228

6.2.2 第二换元法232

6.2.3 分部积分法236

习题6.2240

6.3 几类初等函数的积分242

6.3.1 有理函数的积分242

6.3.2 三角函数有理式的积分245

6.3.3 某些含根式的函数的积分247

习题6.3252

总习题6253

第七章 一元函数定积分255

7.1 定积分的概念255

7.1.1 面积问题与路程问题255

7.1.2 定积分的定义258

7.1.3 用定义计算定积分260

习题7.1262

7.2 函数可积准则263

7.2.1 可积函数的判别定理263

7.2.2 可积函数类266

习题7.2268

7.3 定积分的性质269

习题7.3274

7.4 微积分基本公式275

7.4.1 问题的提出275

7.4.2 积分上限函数及其性质276

7.4.3 Newton-Leibniz公式279

习题7.4281

7.5 定积分的计算283

7.5.1 定积分的换元法283

7.5.2 定积分的分部积分法286

7.5.3 定积分计算和证明的若干方法288

习题7.5296

7.6 反常积分299

7.6.1 无穷区间的反常积分299

7.6.2 无界函数的反常积分302

7.6.3 收敛判别法306

7.6.4 Γ函数与B函数311

习题7.6314

7.7 定积分的应用316

7.7.1 微元法317

7.7.2 定积分在几何中的应用举例318

7.7.3 定积分在物理中的应用举例329

习题7.7335

7.8 定积分的近似计算339

7.8.1 矩形法339

7.8.2 梯形法340

7.8.3 抛物线法341

习题7.8343

总习题7343

附录Ⅰ 二阶和三阶行列式简介350

附录Ⅱ 积分表354

附录Ⅲ 几种常用的二次曲线364

参考文献368

习题答案与提示369