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第一章 函数与极限1

1 函数1

1.1 实数、区间和邻域1

1.2 函数的概念3

1.3 函数的性质9

1.4 反函数·复合函数与初等函数10

2 极限的概念14

2.1 数列的极限15

2.2 函数的极限19

2.3 变量的极限27

2.4 无穷小量·无穷大量28

2.5 极限的性质30

3 极限的计算31

3.1 极限的运算法则31

3.2 两个重要极限34

3.3 无穷小量的阶39

4 函数的连续性42

4.1 函数连续的概念43

4.2 连续函数的运算法则47

4.3 闭区间上连续函数的两个重要性质49

习题一51

第二章 一元函数微分学59

1 导数的概念59

1.1 导数的定义59

1.2 导数与连续66

1.3 导数的几何意义66

2 导数的运算法则与基本公式68

2.1 导数的运算法则68

2.2 导数的基本公式与求导的运算法则小结76

2.3 高阶导数77

3.1 微分的概念79

3 微分79

3.2 微分的计算81

3.3 微分的应用84

习题二87

第三章 中值定理和导数的应用92

1 中值定理92

1.1 罗尔定理92

1.2 拉格朗日中值定理94

1.3 柯西中值定理96

2 洛必达法则98

2.1 洛必达法则Ⅰ98

2.2 洛必达法则Ⅱ100

2.3 其他待定型101

3.1 函数的单调性104

3 函数的单调性与极值104

3.2 极值的定义106

3.3 函数的最值109

4 函数的微分法作图112

4.1 曲线的凹凸性112

4.2 拐点113

4.3 曲线的渐近线114

4.4 函数的作图115

习题三117

第四章 一元函数积分学121

1 不定积分的概念121

1.1 不定积分的定义121

1.2 不定积分的性质124

1.3 基本积分表125

2.1 第一换元积分法(凑微分法)128

2 不定积分的计算128

2.2 第二换元法(作代换法)132

2.3 分部积分法135

3 定积分的概念和基本性质139

3.1 定积分的定义139

3.2 定积分的基本性质146

4 定积分的计算150

4.1 微积分学基本定理150

4.2 定积分的换元积分法155

4.3 定积分的分部积分法157

5 定积分的应用与推广158

5.1 微元分析法158

5.2 定积分应用的几个实例159

5.3 广义积分164

习题四167

第五章 多元函数微积分175

1 多元函数的概念175

1.1 平面点集与区域175

1.2 二元函数的定义176

1.3 二元函数的极限与连续178

2 偏导数和全微分180

2.1 偏导数180

2.2 高阶偏导数183

2.3 全微分184

2.4 复合函数的微分法186

2.5 隐函数的微分法188

3 二元函数的极值190

3.1 通常极值190

3.2 条件极值192

4.1 二重积分的概念196

4 二重积分的概念196

4.2 二重积分的性质199

5 在直角坐标系下计算二重积分200

5.1 在直角坐标系中计算二重积分201

5.2 二重积分的简单应用206

习题五208

附录一 常微分方程简介213

1 常微分方程的一般概念213

2 常微分方程的初等解法215

2.1 分离变量法216

2.2 初等变换法219

3 二阶线性微分方程224

3.1 二阶线性微分方程解的结构225

3.2 二阶常系数线性齐次方程的解法——特征方程法226

3.3 二阶常系数线性非齐次方程的解法——待定系数法230

附录一习题234

附录二 无穷级数简介238

1 数项级数238

1.1 数项级数的基本概念与简单性质238

1.2 正项级数242

1.3 交错级数245

1.4 任意项级数246

2 幂级数247

2.1 幂级数及其收敛半径247

2.2 幂级数的运算250

3 函数的幂级数展开式252

3.1 麦克劳林级数252

3.2 初等函数的幂级数展开式254

附录二习题258

习题答案与提示263