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绪论1

一、线性代数的发展简史1

1.了解数学史的重要意义1

2.代数学的历史发展情况1

3.线性代数主要概念的形成3

二、本书中使用的主要符号简介8

第1章 行列式11

1.1二阶与三阶行列式11

1.1.1二阶行列式的概念11

1.1.2三阶行列式的概念12

1.2全排列及其逆序数13

1.2.1逆序的概念13

1.2.2偶排列与奇排列的概念14

1.3 n阶行列式的定义14

1.4对换16

1.5行列式的性质18

1.6行列式按行（列）展开23

1.7克拉默法则——用行列式求解n元线性方程组29

习题A32

习题B34

上机实验实习题35

第2章 矩阵及其运算36

2.1矩阵的概念36

2.2矩阵的运算39

2.2.1矩阵的加法39

2.2.2数与矩阵相乘40

2.2.3矩阵与矩阵相乘40

2.2.4矩阵的转置42

2.2.5方阵的行列式44

2.2.6共轭矩阵46

2.3方阵的逆矩阵46

2.4分块矩阵与矩阵的分块运算51

2.5矩阵的初等变换与初等矩阵58

2.6矩阵的秩66

习题A71

习题B73

上机实验实习题74

第3章 向量组的线性相关性75

3.1 n维向量的概念75

3.1.1 n维向量的概念75

3.1.2 n维向量的计算75

3.2向量组及其线性组合76

3.2.1向量组及线性组合的概念76

3.2.2向量组和矩阵之间的关系76

3.2.3两个向量组之间的关系及向量组的等价性78

3.2.4向量组等价的几何解释78

3.3向量组的线性相关性及其简单性质78

3.3.1向量组线性相关性定义78

3.3.2向量组的线性相关性判定79

3.3.3向量组的线性相关和线性无关的几何意义82

3.4向量组的秩及和矩阵的秩的关系83

3.4.1向量组的秩及最大无关组的定义83

3.4.2向量组的最大无关组的性质83

3.4.3向量组的秩和矩阵的秩的关系84

3.4.4向量组的秩的几何意义88

3.5向量的内积、长度及正交性89

3.5.1向量的内积、长度、夹角的定义89

3.5.2正交向量组90

3.5.3施密特正交化方法90

3.6正交矩阵及其性质91

3.6.1正交矩阵的定义和性质91

3.6.2正交矩阵与正交变换92

3.7向量空间93

3.7.1向量空间的定义93

3.7.2向量空间举例93

3.7.3向量组生成的向量空间93

3.7.4向量空间的基、维数和坐标94

3.7.5基变换与坐标变换95

3.7.6向量空间的几何意义99

习题A99

习题B101

上机实验实习题102

第4章 线性方程组103

4.1线性方程组的有解定理103

4.1.1线性方程组的表示形式103

4.1.2线性方程组的有解判别定理104

4.2齐次线性方程组的基础解系109

4.2.1齐次线性方程组解的性质109

4.2.2齐次线性方程组的解空间、基础解系及通解结构110

4.3非齐次线性方程组解的结构及求解方法115

4.3.1非齐次线性方程组解的性质115

4.3.2非齐次线性方程组解的结构115

4.3.3初等行变换求非齐次线性方程组通解的方法116

习题A120

习题B121

上机实验实习题123

第5章 矩阵的相似及二次型化简125

5.1方阵的特征值与特征向量125

5.1.1特征值和特征向量的概念125

5.1.2特征值和特征向量的求解127

5.1.3特征值和特征向量的几何解释129

5.1.4特征值和特征向量的性质130

5.2相似矩阵130

5.2.1相似矩阵的概念和性质130

5.2.2方阵可相似对角化的充要条件133

5.3对称矩阵的对角化135

5.3.1实对称矩阵的特征值和特征向量135

5.3.2实对称矩阵的正交相似对角化136

5.4二次型及其标准形138

5.4.1二次曲面的化简问题138

5.4.2二次型概念及其矩阵表示139

5.4.3二次型的标准形和规范形140

5.5正交相似变换化简二次型141

5.5.1正交变换化二次型为标准形的意义141

5.5.2正交变换化二次型为标准形142

5.6用配方法化简二次型为标准形144

5.6.1合同变换的性质144

5.6.2配方法化二次型为标准形145

5.7正定二次型与正定矩阵147

5.7.1惯性定理及二次型的定性问题147

5.7.2二次型的定性概念及判定方法148

习题A150

习题B152

上机实验实习题153

第6章 线性空间与线性变换154

6.1线性空间及基与维数154

6.1.1线性空间的概念和性质154

6.1.2线性空间的基与维数157

6.2基变换与坐标变换160

6.3线性变换及矩阵表示163

6.3.1线性变换163

6.3.2线性变换的矩阵表示式167

6.3.3双线性函数170

习题A171

习题B172

上机实验实习题174

参考文献175

附录一 基于软件Matlab的线性代数实验176

一、Matlab基础简介176

1.Matlab简介176

2.Matlab进行数学运算的基本方法及M文件的创建176

3.Matlab对使用变量名称的规定177

4.Matlab程序控制语句177

二、常见线性代数相关问题的Matlab函数179

三、典型例题解析180

附录二 线性代数模型在实际问题中的应用191

一、模型与数学模型191

1.模型191

2.数学模型191

二、数学建模192

三、线性代数模型在实际问题中的应用案例192

1.过定点的曲线与曲面方程的建立192

2.求多元函数的极值193

3.人口比例的变化195

4.最小二乘法建立离散数据的拟合曲线195

5.线性系统稳定性的判定199

6.平衡温度分布的数学建模200

附录三 自测题及参考答案203

自测题（一）203

自测题（一）参考答案205

自测题（二）206

自测题（二）参考答案208

附录四 各章习题参考答案211