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1 一元函数 极限 连续1

1.1 一元函数1

1.1.1 一元函数的概念1

1.1.2 函数的一些性态3

1.1.3 初等函数与非初等函数4

1.1.4 由实际问题产生的一元函数9

1.2 极限13

1.2.1 数列的极限15

1.2.2 函数f(x)当x→∞时的极限17

1.2.3 函数f(x)当x→x0时的极限18

1.3 极限的性质和运算法则23

1.3.1 无穷小和无穷大23

1.3.2 极限的性质与极限的运算法则25

1.3.3 极限的存在准则 两个重要极限32

1.4 无穷小的比较37

1.5 函数的连续性40

1.5.1 函数连续性的概念40

1.5.2 连续函数的运算44

1.6 闭区间上连续函数的性质48

2 一元函数微分学51

2.1 导数的概念51

2.1.1 导数概念的引出51

2.1.2 导数的定义52

2.1.3 可导与连续的关系54

2.2 求导法则56

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则56

2.2.2 反函数的导数62

2.2.3 复合函数的导数63

2.2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数66

2.2.5 高阶导数70

2.3 函数的微分78

2.3.1 微分的定义78

2.3.2 微分的公式与运算法则81

2.3.3 微分在近似计算中的应用83

2.4 微分中值定理及导数的应用85

2.4.1 微分中值定理85

2.4.2 泰勒公式88

2.4.3 洛必达法则91

2.4.4 函数的单调性和极值97

2.4.5 函数的最大值和最小值104

2.4.6 曲线的凹凸性与拐点106

2.4.7 函数图形的描绘109

2.4.8 曲率115

2.4.9 一元函数微分学在经济中的应用119

3 一元函数积分学127

3.1 不定积分的概念与性质127

3.1.1 原函数与不定积分的概念127

3.1.2 不定积分的性质130

3.1.3 基本积分公式131

3.2 换元积分法135

3.2.1 第一类换元积分法136

3.2.2 第二类换元积分法144

3.3 分部积分法151

3.4 定积分的概念与性质158

3.4.1 定积分的引例158

3.4.2 定积分的定义160

3.4.3 定积分的性质162

3.5 微积分的基本定理166

3.5.1 变上限定积分及其导数166

3.5.2 牛顿—莱布尼兹公式168

3.6 定积分的换元积分法与分部积分法172

3.6.1 定积分的换元积分法172

3.6.2 定积分的分部积分法175

3.7 广义积分178

3.7.1 无穷区间上的广义积分178

3.7.2 无界函数的广义积分182

3.8 定积分的应用184

3.8.1 平面图形的面积185

3.8.2 体积、平面曲线的弧长190

3.8.3 定积分在物理学中的应用举例195

3.8.4 定积分在经济学中的应用举例197

4 微分方程204

4.1 微分方程的基本概念204

4.2 一阶微分方程206

4.2.1 可分离变量方程207

4.2.2 一阶线性微分方程209

4.2.3 可降阶的二阶微分方程212

4.3 常系数线性微分方程215

4.3.1 线性微分方程解的结构215

4.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程217

4.3.3 二阶常系数线性非齐次方程218

4.3.4 常系数线性差分方程222

4.4 微分方程的应用227

4.4.1 几何应用227

4.4.2 物理应用228

4.4.3 其他应用232

实验一 用数学软件绘制基本初等函数图形，求方程的近似根235

实验二 用数学软件求导数、微分和极限，绘制一元函数图形，用泰勒公式逼近函数239

实验三 用数学软件求不定积分、定积分、广义积分及积分的近似值245

实验四 用数学软件求解常微分方程的通解和特解250

附录 数学软件Mathematica使用简介256

习题答案260