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第一节 集合及其运算1

1.1 集合的概念1

第一章 集合与点集1

1.2 集合的运算3

第二节 映射、对等与可数集10

2.1 映射10

2.2 集合的对等13

2.3 可数集15

第三节 不可数集、集合的势18

第四节 直线上的开集、闭集及其性质24

4.1 开集及其性质24

4.2 聚点、导集、闭包26

4.3 闭集及其性质28

5.1 开集的构造31

第五节 开集构造定理、康托三分集31

5.2 康托三分集33

第六节 n 维欧氏空间中的点集36

习题41

第二章 点集的勒贝格测度与可测函数45

第一节 从黎曼积分到勒贝格积分45

第二节 点集的勒贝格测度52

2.1 点集的外测度53

2.2 点集的勒贝格测度与可测集57

第三节 可测集的性质61

第四节 可测集类、不可测集66

第五节 可测函数的定义及其基本性质73

5.1 可测函数的概念73

5.2 可测函数的基本性质77

第六节 可测函数列的收敛性83

6.1 几乎处处收敛与一致收敛83

6.2 几乎处处收敛与依测度收敛86

第七节 可测函数的构造91

习题95

第三章 积分论99

第一节 勒贝格积分99

1.1 勒贝格积分的定义及其基本性质99

1.2 一般可积函数109

1.3 积分序列的极限定理115

1.4 R 积分与 L 积分的比较125

第二节 不定积分与有界变差函数130

2.1 有界变差函数130

2.2 斯蒂阶积分148

习题154

第四章 距离空间157

第一节 距离空间的概念158

1.1 距离空间158

1.2 距离空间进一步的例子165

第二节 距离空间上的开集、闭集与连续映射174

2.1 距离空间上的开集与闭集174

2.2 距离空间上的连续映射177

2.3 拓扑空间简介181

第三节 距离空间的可分性与完备性183

3.1 距离空间的可分性184

3.2 距离空间的完备性188

3.3 距离空间的完备化192

3.4 第二纲集197

第四节 压缩映射原理及其应用199

第五节 列紧性与紧性207

习题219

第五章 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子223

第一节 线性赋范空间与巴拿赫空间223

1.1 线性空间225

1.2 线性赋范空间与巴拿赫空间230

1.3 线性赋范空间的基本性质232

1.4 有限维线性赋范空间234

第二节 有界线性算子与有界线性泛函238

2.1 有界线性算子的定义及性质239

2.2 线性算子空间247

2.3 有界线性泛函与共轭空间249

第三节 内积空间与希尔伯特空间258

3.1 内积空间与希尔伯特空间的定义259

3.2 正交分解与投影定理263

3.3 内积空间的正交系270

3.4 可分希尔伯特空间及其同构性279

3.5 希尔伯特空间的自共轭性282

习题284

第六章 泛函分析的基本定理289

第一节 汉恩-巴拿赫定理289

1.1 汉恩-巴拿赫定理289

1.2 凸集分离定理294

1.3 汉恩-巴拿赫延拓定理的证明297

第二节 自反空间与共轭算子302

2.1 自反空间302

2.2 线性赋范空间中的共轭算子305

2.3 希尔伯特空间中的自共轭算子309

第三节 共鸣定理及其应用313

3.1 共鸣定理及其应用314

3.2 弱收敛与弱*收敛321

第四节 逆算子定理与闭图象定理325

4.1 逆算子326

4.2 巴拿赫逆算子定理330

4.3 闭图象定理333

第五节 拉克斯-米尔格雷姆定理338

习题342

第七章 有界线性算子的谱理论349

第一节 有界线性算子谱的概念和性质349

1.1 有界线性算子谱的概念351

1.2 有界线性算子谱的性质354

第二节 全连续算子的黎斯-啸德尔理论361

2.1 全连续算子的定义及基本性质361

2.2 黎斯-啸德尔理论366

第三节 有界自伴算子的谱理论375

3.1 有界自伴算子的谱性质375

3.2 全连续自伴算子的谱性质及其特征展开380

3.3 正算子384

3.4 投影算子387

3.5 有界自伴算子的谱分解定理392

3.6 谱分解定理的证明396

3.7 有界自伴算子的算子演算及谱性质401

习题406

参考书目410