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第一章 抛物型方程的差分方法1

1.1 抛物型方程的定解问题1

1.2 几个古典差分格式的建立和定解条件的处理2

1.2.1 网格部分2

1.2.2 几个古典差分格式3

1.2.3 定解条件的处理7

1.3 差分格式的相容性、稳定性与收敛性9

1.3.1 差分格式的相容性9

1.3.2 差分格式的稳定性10

1.3.3 差分格式的收敛性18

1.4 研究稳定性的分离变量法20

1.4.1 分离变量法的一般讨论21

1.4.2 对差分方程组的应用25

1.5 几个无条件稳定的差分格式29

1.5.1 Crank—Nicholson 格式29

1.5.2 Du Fort—Frankel 格式30

1.5.3 三层隐式格式34

1.5.4 交替显隐格式36

1.6 建立差分格式的其他方法39

1.6.1 待定系数法39

1.6.2 算子方法41

1.6.3 积分插值法49

1.7 解二维问题的分裂法54

1.7.1 分离变量法对多个空间变量的应用54

1.7.2 分裂算法的基本思想57

1.7.3 P—R(Peaceman—Rachford)格式57

1.7.4 Douglas 格式58

1.7.5 Yanenko 格式59

1.7.6 局部一维格式60

1.8 解非线性抛物型方程的差分方法62

习题64

第二章 双曲型方程的差分方法68

2.1 一阶线性常系数双曲型方程的差分方法68

2.1.1 一阶常系数方程初值问题68

2.1.2 迎风格式70

2.1.3 Lax—Friedrichs 格式72

2.1.4 跳蛙(Leap—frog)格式73

2.1.5 Lax—Wendroff 格式75

2.1.6 隐式格式78

2.1.7 利用特征线构造差分格式79

2.2 一阶常系数双曲型方程组的差分法81

2.2.1 Lax—Friedrichs 格式81

2.2.2 Lax—Wendroff 格式82

2.2.3 迎风格式83

2.3 一阶变系数双曲型方程及方程组的差分方法85

2.3.1 一阶变系数双曲型方程85

2.3.2 一阶变系数双曲型方程组86

2.4 二阶线性双曲型方程的差分方法88

2.4.1 一维波动方程88

2.4.2 二维波动方程97

2.5 一阶拟线性双曲型方程组的特征线法102

2.5.1 一阶线性双曲型方程的特征线法102

2.5.2 一阶拟线性双曲型方程的特征线法104

2.5.3 一阶拟线性双曲型方程组的特征线法105

习题115

第三章 椭圆型方程的差分方法117

3.1 矩形网的差分格式117

3.1.1 椭圆型方程的定解问题117

3.1.2 网格剖分118

3.1.3 五点差分格式119

3.1.4 九点差分格式120

3.2 三角网的差分格式124

3.3 极坐标系网的差分格式126

3.4 边界条件的处理128

3.4.1 矩形区域128

3.4.2 一般区域129

3.5.1 差分方程的一般形式131

3.5 极值原理与差分格式的收敛性131

3.5.2 极值原理及差分格式之解的先验估计132

3.5.3 五点格式的敛速估计136

3.6 变系数方程138

3.7 双调和方程140

习题142

第四章 变分原理145

4.1 一维变分问题145

4.1.1 一个简单的变分问题145

4.1.2 变分法简介147

4.1.3 两点边值问题及其等价的变分问题151

4.1.4 Sobolev 空间中的一维变分问题155

4.2.1 薄膜平衡164

4.2 二维变分问题164

4.2.2 二维边值问题的变分形式168

4.2.3 Sobolev 空间中的二维变分问题173

4.3 Ritz—Galerkin 方法176

习题182

第五章 有限元方法184

5.1 解一维问题的线性元185

5.2 解二维问题的三角形线性元192

5.2.1 三角形剖分192

5.2.2 面积坐标及其性质194

5.2.3 三角形线性元的基函数197

5.2.4 有限元方程及其计算公式198

5.2.5 举例202

5.3 解二维问题的四边形双线性元205

5.4 高次元210

5.4.1 一维高次元210

5.4.2 二维三角形高次元214

5.4.3 二维矩形高次元217

5.5 抛物型方程的有限元方法219

习题224

第六章 有限元解的误差估计226

6.1 Ritz—Galerkin 解的一个逼近性质226

6.2 一维线性元的误差估计228

6.2.1 H1范数的估计228

6.2.2 L2范数的估计231

6.3 二维三角线性元的误差估计233

习题237

主要参考书目238