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第1章 函数1

1.1 函数的概念1

1.1.1 集合的概念1

1.1.2 函数的概念2

1.1.3 函数的定义域4

1.1.4 几个特殊函数4

1.1.5 函数的几种特性6

习题1.18

1.2 反函数、复合函数和初等函数9

1.2.1 反函数9

1.2.2 复合函数10

1.2.3 基本初等函数11

1.2.4 初等函数15

习题1.215

复习题115

第2章 极限与连续17

2.1 数列的极限17

2.1.1 数列的概念17

2.1.2 数列的极限18

2.1.3 数列极限的几何意义21

2.1.4 收敛数列的性质22

2.1.5 收敛数列的四则运算23

习题2.123

2.2 函数的极限24

2.2.1 函数极限的定义24

2.2.2 函数极限的性质27

习题2.228

2.3 无穷小量与无穷大量28

2.3.1 无穷小量29

2.3.2 无穷小的性质29

2.3.3 无穷大量30

习题2.332

2.4 极限的运算法则32

习题2.435

2.5 极限存在准则及两个重要极限36

2.5.1 极限存在准则36

2.5.2 两个重要极限38

习题2.543

2.6 无穷小的比较44

2.6.1 无穷小的比较44

2.6.2 等价无穷小的性质44

习题2.647

2.7 连续函数47

2.7.1 函数的连续性47

2.7.2 函数的间断点49

2.7.3 连续函数的运算与性质51

2.7.4 初等函数的连续性53

2.7.5 闭区间上连续函数的性质54

习题2.755

复习题256

第3章 导数与微分59

3.1 导数的基本概念59

3.1.1 函数的变化率问题举例59

3.1.2 导数的定义60

3.1.3 用导数的定义求导数举例62

3.1.4 左、右导数64

3.1.5 导数的几何意义65

3.1.6 函数可导与连续的关系66

习题3.167

3.2 函数的求导法则68

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则68

3.2.2 反函数的求导法则70

3.2.3 复合函数的求导法则71

3.2.4 基本求导法则与导数公式72

习题3.274

3.3 高阶导数76

3.3.1 高阶导数的定义76

3.3.2 高阶导数的求导法则78

习题3.379

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数79

3.4.1 隐函数的导数79

3.4.2 对数求导法81

3.4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则83

3.4.4 相关变化率85

习题3.486

3.5 函数的微分87

3.5.1 微分的概念87

3.5.2 微分的几何意义89

3.5.3 微分的基本公式和运算法则89

3.5.4 微分在近似计算中的应用91

习题3.592

复习题393

第4章 导数的应用96

4.1 微分中值定理96

4.1.1 费马定理96

4.1.2 罗尔定理96

4.1.3 拉格朗日中值定理98

4.1.4 柯西中值定理100

4.1.5 泰勒中值定理102

习题4.1105

4.2 洛必达法则105

4.2.1 0/0型和∞/∞型未定式的极限106

4.2.2 其他形式的未定式109

习题4.2112

4.3 函数的单调性与极值112

4.3.1 函数单调性的判别法112

4.3.2 函数的极值及其判别法114

4.3.3 函数的最大值与最小值问题118

习题4.3119

4.4 曲线的凹凸性与作图120

4.4.1 曲线的凹凸性与拐点120

4.4.2 曲线的渐近线123

4.4.3 函数图形的描绘123

习题4.4125

复习题4125

第5章 不定积分128

5.1 不定积分的概念与性质128

5.1.1 不定积分的概念128

5.1.2 不定积分的基本公式129

5.1.3 不定积分的性质130

5.1.4 不定积分的几何意义132

习题5.1132

5.2 不定积分的换元积分法133

5.2.1 第一类换元积分法（凑微分法）133

5.2.2 第二类换元积分法137

习题5.2140

5.3 不定积分的分部积分法141

习题5.3144

5.4 有理函数与无理函数的积分145

5.4.1 有理函数的积分145

5.4.2 三角函数有理式的积分148

5.4.3 简单无理函数的积分149

习题5.4150

复习题5150

第6章 定积分及其应用153

6.1 定积分的概念153

6.1.1 定积分的概念153

6.1.2 定积分的性质157

习题6.1159

6.2 微积分的基本公式159

6.2.1 积分上限函数160

6.2.2 微积分基本定理161

习题6.2163

6.3 定积分的换元积分法和分部积分法164

6.3.1 定积分的换元积分法164

6.3.2 定积分的分部积分法167

习题6.3169

6.4 反常积分170

6.4.1 无穷限的反常积分170

6.4.2 无界函数的反常积分172

习题6.4174

6.5 定积分的应用174

6.5.1 定积分的微元法174

6.5.2 平面图形的面积174

6.5.3 旋转体的体积175

习题6.5177

复习题6177

第7章 常微分方程181

7.1 常微分方程的基本概念181

习题7.1183

7.2 一阶微分方程184

7.2.1 可分离变量的微分方程184

7.2.2 一阶线性微分方程187

7.2.3 伯努利微分方程190

7.2.4 一阶微分方程应用举例191

习题7.2193

7.3 可降阶的高阶微分方程193

7.3.1 y（n）＝f（x）型微分方程194

7.3.2 y″＝f（x，y′）型微分方程194

7.3.3 y″＝f（y，y′）型微分方程195

习题7.3196

7.4 二阶线性微分方程解的结构196

7.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构197

7.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构198

习题7.4199

7.5 二阶常系数线性微分方程200

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程200

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程202

习题7.5206

复习题7206

第8章 线性代数与空间解析几何209

8.1 行列式209

8.1.1 行列式的概念209

8.1.2 行列式的性质及运算211

8.1.3 克莱姆法则213

习题8.1215

8.2 矩阵215

8.2.1 矩阵的概念215

8.2.2 矩阵的运算217

8.2.3 逆矩阵221

8.2.4 矩阵的秩225

习题8.2227

8.3 线性方程组228

8.3.1 消元法228

8.3.2 初等变换法229

8.3.3 方程组的解的存在条件230

习题8.3234

8.4 向量的概念与几何运算234

8.4.1 向量的概念234

8.4.2 向量的加减运算235

8.4.3 量的数乘运算236

习题8.4236

8.5 向量代数236

8.5.1 空间直角坐标系236

8.5.2 向量的坐标表达式238

8.5.3 向量线性运算的坐标表达式239

8.5.4 向量的模与方向余弦的坐标表达式239

8.5.5 向量的数量积240

8.5.6 向量的向量积242

习题8.5244

8.6 平面与空间直线245

8.6.1 平面及其方程245

8.6.2 空间直线方程248

8.6.3 直线与平面的位置关系251

习题8.6251

8.7 空间曲面与空间曲线的方程252

8.7.1 曲面方程的概念252

8.7.2 几种常见曲面的方程253

8.7.3 常见的二次曲面256

8.7.4 空间曲线及其方程257

习题8.7260

复习题8260

第9章 多元函数的微积分263

9.1 二元函数263

9.1.1 二元函数的定义263

9.1.2 二元函数的极限与连续264

习题9.1266

9.2 偏导数267

9.2.1 偏导数的概念267

9.2.2 偏导数的几何意义270

9.2.3 高阶偏导数270

习题9.2272

9.3 全微分272

9.3.1 全微分的概念272

9.3.2 可微的性质273

9.3.3 全微分在近似计算中的应用275

习题9.3276

9.4 多元复合函数的求导276

9.4.1 多元复合函数的求导法则276

9.4.2 全微分的形式不变性279

9.4.3 隐函数的求导法则280

习题9.4282

9.5 偏导数的几何应用283

9.5.1 空间曲线的切线与法平面283

9.5.2 曲面的切平面与法线285

习题9.5287

9.6 多元函数的极值及其求法288

9.6.1 多元函数的极值288

9.6.2 多元函数的最大值与最小值问题290

9.6.3 条件极值291

习题9.6294

9.7 二重积分295

9.7.1 二重积分的概念295

9.7.2 二重积分的性质297

9.7.3 二重积分的计算方法298

习题9.7307

复习题9309

第10章 无穷级数315

10.1 常数项级数的概念和性质315

10.1.1 常数项级数的基本概念315

10.1.2 数项级数的性质317

习题10.1319

10.2 常数项级数的审敛法320

10.2.1 正项级数及其审敛法320

10.2.2 交错级数及其审敛法327

10.2.3 绝对收敛与条件收敛328

习题10.2330

10.3 幂级数331

10.3.1 函数项级数的概念331

10.3.2 幂级数及其收敛性332

10.3.3 幂级数的运算336

习题10.3338

10.4 函数展开成幂级数338

10.4.1 泰勒级数338

10.4.2 函数展开成幂级数的方法339

习题10.4343

复习题10344

习题答案348

主要参考文献379