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第一模块 一元函数微分学及其经济应用3

第1章 经济中常见的数学模型——经济函数3

1.1 经济函数及其模型的建立3

1.1.1 需求量、供给量和价格之间的关系4

1.1.2 盈亏平衡点6

1.1.3 复利问题10

1.1.4 贴现问题12

【能力训练1.1】13

1.2 函数——变量之间依存关系的数学模型14

1.2.1 函数概念的起源14

1.2.2 函数的概念15

1.2.3 反函数——逆向思维的实例20

1.2.4 基本初等函数20

1.2.5 复合函数22

【能力训练1.2】23

学法建议24

【综合能力训练1】25

【数学文化聚焦】无处不在的数学技术26

第2章 无限变化的函数模型——极限与经济函数28

2.1 极限思想概述28

2.1.1 极限思想介绍28

2.1.2 微积分理论的创立30

【能力训练2.1】31

2.2 数列极限、无穷级数和乘数效应31

2.2.1 数列极限与反复学习问题31

2.2.2 无穷级数与乘数效应34

【能力训练2.2】37

2.3 变化趋势的函数模型——极限38

2.3.1 x→∞时f（x）的极限38

2.3.2 x→x0时，函数f（x）的极限40

2.3.3 函数f（x）的连续性43

2.3.4 无穷小量与弹球模型45

2.3.5 无穷大与高速问题47

【能力训练2.3】50

2.4 怎样计算极限51

2.4.1 极限的四则运算法则51

2.4.2 计算极限的基本方法52

【能力训练2.4】56

2.5 经济中的极限问题57

2.5.1 连续复利57

2.5.2 实际利率和名义利率59

2.5.3 年金和永续年金60

【能力训练2.5】64

学法建议65

【综合能力训练2】66

【数学文化聚焦】哲学角度认识极限法67

第3章 经济分析的基本工具——导数、微分68

3.1 函数的局部变化率——导数68

3.1.1 微积分的创立68

3.1.2 函数y=f（x）在点x0处的导数——导数值69

3.1.3 平面曲线的斜率及切线问题71

3.1.4 函数y=f（x）在区间（a，b）内的导数——导函数72

【能力训练3.1】74

3.2 求导数的方法74

3.2.1 导数基本公式74

3.2.2 导数的四则运算法则76

3.2.3 复合函数求导法则77

3.2.4 隐函数求导法82

3.2.5 高阶导数84

3.2.6 反函数的导数85

【能力训练3.2】86

3.3 微分及其计算88

3.3.1 微分及其计算88

3.3.2 微分的近似计算91

【能力训练3.3】92

3.4 二元函数的偏导数92

3.4.1 空间直角坐标系与二元函数92

3.4.2 二元函数的偏导数95

3.4.3 二元函数的二阶偏导数96

【能力训练3.4】97

学法建议98

【综合能力训练3】98

【数学文化聚焦】贝克莱悖论与第二次数学危机99

第4章 导数在经济上的应用问题——边际、弹性、最值、函数形态101

4.1 函数的形态分析——函数的单调性和极值、凹向性和拐点102

4.1.1 函数的单调性102

4.1.2 函数的极值——函数的局部性质104

4.1.3 函数的最大值与最小值——函数的整体性质107

4.1.4 函数的凹向性与拐点111

4.1.5 曲线的渐近线和函数作图114

【能力训练4.1】116

4.2 边际分析117

4.2.1 边际成本117

4.2.2 边际收益118

4.2.3 边际利润119

【能力训练4.2】119

4.3 弹性分析119

4.3.1 需求弹性120

4.3.2 收益弹性122

【能力训练4.3】124

4.4 经济中的最优化问题125

4.4.1 最大利润问题125

4.4.2 最小平均成本问题126

4.4.3 允许缺货的批量问题127

【能力训练4.4】130

4.5 偏导数在经济分析中的应用130

4.5.1 偏边际成本130

4.5.2 二元经济函数的极值131

【能力训练4.5】133

4.6 计算未定式极限的一般方法——洛必达法则134

【能力训练4.6】136

学法建议136

【综合能力训练4】138

【数学文化聚焦】将数学引入经济学的第一人——保罗·萨缪尔森139

第二模块 一元函数积分学及其经济应用143

第5章 微分的逆运算问题——不定积分143

5.1 不定积分及其性质144

5.1.1 积分学的创立144

5.1.2 逆向思维又一例——原函数与不定积分的概念144

5.1.3 不定积分的性质与基本积分公式146

5.1.4 求不定积分的基本方法148

【能力训练5.1】149

5.2 凑微分法151

【能力训练5.2】156

5.3 分部积分法156

5.3.1 分部积分公式156

5.3.2 如何正确使用分部积分公式157

【能力训练5.3】159

学法建议159

【综合能力训练5】160

【数学文化聚焦】数学大师丘成桐的数学强国梦161

第6章 求总量或变化量的问题——定积分及其经济应用163

6.1 定积分的概念164

6.1.1 定积分的起源164

6.1.2 定积分的定义164

6.1.3 定积分的性质166

6.1.4 如何求定积分∫b af（x）dx的值167

【能力训练6.1】168

6.2 计算定积分的一般方法——换元积分法和分部积分法169

6.2.1 定积分的换元积分法169

6.2.2 定积分的分部积分法171

【能力训练6.2】171

6.3 定积分概念的拓展——无穷区间上的广义积分172

【能力训练6.3】174

6.4 定积分的应用——求平面图形的面积175

6.4.1 定积分的微元法175

6.4.2 平面图形的面积175

【能力训练6.4】176

6.5 定积分在经济分析中的应用177

6.5.1 边际函数和经济函数177

6.5.2 资金流在连续复利计息下的现值与将来值178

6.5.3 消费者剩余和生产者剩余181

6.5.4 洛伦茨曲线与基尼系数182

【能力训练6.5】183

学法建议184

【综合能力训练6】185

【数学文化聚焦】谁先创立微积分186

第三模块 描述随机问题的方法——概率论189

第7章 偶然中的必然——随机事件与概率189

7.1 随机事件的概念及运算190

7.1.1 随机试验和样本空间190

7.1.2 随机事件192

7.1.3 基本事件和复合事件192

7.1.4 事件间的关系与运算193

【能力训练7.1】195

【数学文化聚焦】概率论的起源195

7.2 随机事件的概率196

7.2.1 概率是什么196

7.2.2 概率的定义197

7.2.3 概率的基本性质199

【能力训练7.2】199

【数学文化聚焦】偶然中的必然200

7.3 概率运算（1）——加法公式和乘法公式201

7.3.1 概率加法公式201

7.3.2 条件概率203

7.3.3 概率乘法公式205

【能力训练7.3】207

【数学文化聚焦】蒙提霍尔问题208

7.4 概率运算（2）——全概率公式和贝叶斯公式209

7.4.1 全概率公式209

7.4.2 贝叶斯公式211

【能力训练7.4】215

【数学文化聚焦】贝叶斯统计法216

7.5 事件的独立性216

7.5.1 两个事件的独立性217

7.5.2 三个事件的相互独立性218

【能力训练7.5】220

【数学文化聚焦】蒲丰投针问题221

学法建议222

【综合能力训练7】224

【数学文化聚焦】彩票中奖的可能性分析225

第8章 随机现象的函数化——随机变量及其分布227

8.1 随机变量及其分布函数228

8.1.1 随机变量的概念228

8.1.2 随机事件与随机变量的关系229

8.1.3 随机变量的分类229

8.1.4 分布函数及其基本性质230

8.1.5 随机变量的独立性230

【能力训练8.1】230

【数学文化聚焦】神奇的功勋231

8.2 离散型随机变量及其分布232

8.2.1 离散型随机变量的概率分布及基本性质232

8.2.2 常用离散型随机变量的分布234

【能力训练8.2】239

【数学文化聚焦】从死亡线上生还的人241

8.3 连续型随机变量及其分布242

8.3.1 连续型随机变量的概率密度及其基本性质242

8.3.2 连续型随机变量的分布密度与分布函数的关系243

8.3.3 常用连续型随机变量的分布244

【能力训练8.3】245

【数学文化聚焦】概率论的应用247

8.4 正态分布247

8.4.1 正态分布概念247

8.4.2 标准正态分布248

8.4.3 一般正态分布与标准正态分布的关系249

【能力训练8.4】252

【数学文化聚焦】3σ规则253

学法建议253

【综合能力训练8】256

【数学文化聚焦】数学王子——高斯257

第9章 随机变量的数字特征——数学期望和方差258

9.1 数学期望259

9.1.1 数学期望的概念259

9.1.2 离散型随机变量的数学期望（均值）260

9.1.3 连续型随机变量的数学期望262

9.1.4 数学期望的性质264

【能力训练9.1】265

9.2 方差265

9.2.1 方差的概念265

9.2.2 计算方差的简捷公式266

9.2.3 方差的性质269

9.2.4 常用的随机变量分布及其数学期望和方差270

【能力训练9.2】270

学法建议271

【综合能力训练9】272

【数学文化聚焦】投资规律——不要把鸡蛋放在同一个篮子中273

第四模块 部分刻画整体的方法——数理统计初步277

第10章 数理统计的基本内容277

10.1 总体和样本278

10.1.1 总体和总体的分布278

10.1.2 样本与样本值278

10.1.3 统计推断问题简述279

10.1.4 总体和样本的数字特征279

【能力训练10.1】280

【数学文化聚焦】统计的若干应用280

10.2 统计量及其分布282

10.2.1 统计量282

10.2.2 临界值282

10.2.3 常见统计量的分布283

【能力训练10.2】286

【数学文化聚焦】伯努利家族的贡献287

10.3 参数估计287

10.3.1 点估计288

10.3.2 区间估计289

【能力训练10.3】294

【数学文化聚焦】现代企业的6σ管理法295

10.4 假设检验（1）——双侧检验296

10.4.1 假设检验的原理296

10.4.2 假设检验的基本方法297

【能力训练10.4】301

【数学文化聚焦】生日悖论302

10.5 假设检验（2）——单侧检验303

【能力训练10.5】306

学法建议308

【综合能力训练10】310

【数学文化聚焦】诺贝尔为什么没有设立数学奖？311

第五模块 矩阵及线性方程组315

第11章 矩阵315

11.1 矩阵的定义316

11.1.1 矩阵的概念316

11.1.2 几类特殊的矩阵319

【能力训练11.1】321

11.2 矩阵的运算321

11.2.1 矩阵的相等321

11.2.2 矩阵的加法运算321

11.2.3 矩阵的数乘运算323

11.2.4 矩阵的乘法324

11.2.5 矩阵的转置327

【能力训练11.2】328

11.3 矩阵的秩330

11.3.1 矩阵的初等行变换330

11.3.2 阶梯形矩阵331

11.3.3 行简化阶梯形矩阵331

11.3.4 矩阵的秩332

【能力训练11.3】333

11.4 逆矩阵334

11.4.1 逆矩阵334

11.4.2 用初等行变换求逆矩阵335

11.4.3 线性方程组的矩阵解法336

【能力训练11.4】339

【数学文化聚焦】矩阵密码问题340

学法建议341

【综合能力训练11】342

第12章 线性方程组344

12.1 n元线性方程组和高斯消元法345

12.1.1 n元线性方程组的基本概念345

12.1.2 高斯消元法347

【能力训练12.1】351

12.2 线性方程组解的判定352

12.2.1 n元非齐次线性方程组解的判定352

12.2.2 n元齐次线性方程组解的判定355

【能力训练12.2】359

【数学文化聚焦】线性方程组在交通流量问题方面的应用360

学法建议361

【综合能力训练12】361

第六模块 数学实验367

第13章 用MATLAB数学软件来进行数学计算367

13.1 MATLAB简介367

实验一 MATLAB操作入门367

实验二 变量与函数370

13.2 函数的MATLAB计算与作图371

实验三 利用MATLAB进行基本数学运算371

实验四 利用MATLAB绘制平面曲线的图形373

13.3 利用MATLAB计算一元函数微积分问题374

实验五 求解函数极限374

实验六 求解函数导数377

实验七 导数的应用一378

实验八 导数的应用二381

实验九 求解函数积分384

实验十 积分的应用386

13.4 利用MATLAB进行矩阵运算和线性方程组求解387

实验十一 矩阵运算387

实验十二 求解线性方程组390

13.5 利用MATLAB计算概率论及数理统计的问题392

实验十三 计算随机变量的概率分布392

实验十四 计算随机变量的数学期望和方差397

实验十五 参数估计399

附录A 泊松分布概率值表401

附录B 标准正态分布函数数值表403

附录C t分布表404

附录D x2分布表405

附录E 能力训练参考答案407

参考文献437