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第一章 测度与积分1

1.1 引言1

1.2 测度论的基本概念3

1.3 单调类定理8

1.4 测度的唯一性定理10

1.5 可测函数与积分的定义11

1.6 单调收敛定理15

1.7 Fatou引理16

1.8 控制收敛定理17

1.9 Fatou引理中的余项19

1.10 乘积测度20

1.11 乘积测度的交换性和结合性22

1.12 Fubini定理22

1.13 层饼表示定理23

1.14 浴缸原理25

1.15 由外测度构造测度26

1.16 Egoroff定理28

1.17 简单函数与真简单函数29

1.18 真简单函数逼近31

1.19 用C∞函数逼近32

第二章 Lp空间36

2.1 Lp空间的定义36

2.2 Jensen不等式39

2.3 H？lder不等式40

2.4 Minkowski不等式41

2.5 Hanner不等式43

2.6 范数的可微性45

2.7 Lp空间的完备性46

2.8 凸集投影引理47

2.9 连续线性泛函与弱收敛48

2.10 函数由线性泛函唯一确定50

2.11 范数的下半连续性51

2.12 一致有界原理52

2.13 强收敛的凸组合53

2.14 Lp（Ω）空间的对偶54

2.15 卷积57

2.16 C∞函数逼近57

2.17 Lp（Rn）的可分性60

2.18 有界序列有弱收敛子列61

2.19 C？函数逼进62

2.20 Lp（Rn）对偶空间函数卷积的连续性63

2.21 Hilbert空间63

第三章 重排不等式70

3.1 引言70

3.2 无穷远处趋于零的函数的定义70

3.3 集合与函数的重排71

3.4 最简单的重排不等式72

3.5 重排的非扩张性74

3.6 一维Riesz重排不等式75

3.7 Riesz重排不等式77

3.8 一般重排不等式83

3.9 严格重排不等式83

第四章 积分不等式86

4.1 引言86

4.2 Young不等式87

4.3 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式94

4.4 共形变换和球极投影99

4.5 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的共形不变性102

4.6 竞争对称性105

4.7 定理4.3的证明（Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的最佳形式）107

4.8 共形变换群在最优解上的作用108

第五章 Fourier变换111

5.1 L1函数Fourier变换的定义111

5.2 Gauss函数的Fourier变换112

5.3 Plancherel定理113

5.4 L2函数Fourier变换的定义115

5.5 反演公式115

5.6 Lp（Rn）函数的Fourier变换116

5.7 Hausdorff-Young不等式的最佳形式117

5.8 卷积117

5.9 ｜x｜α-n的Fourier变换118

5.10 推广5.9至Lp（Rn）119

第六章 分布121

6.1 引言121

6.2 试验函数空间D（Ω）121

6.3 分布的定义及其收敛性122

6.4 局部可积函数L？（Ω）123

6.5 函数由分布唯一确定124

6.6 分布的导数124

6.7 W？（Ω）和W1,p（Ω）的定义125

6.8 卷积与分布司交换127

6.9 关于分布的微积分基本定理128

6.10 古典导数与分布导数等价129

6.11 导数为零的分布是常数131

6.12 C∞函数与分布的乘积与卷积131

6.13 用C∞函数逼近分布132

6.14 分布的线性相关性133

6.15 C∞（Ω）在W？（Ω）中“稠密”134

6.16 链式法则134

6.17 绝对值的导数136

6.18 W1,p函数的极小与极大函数属于W1,p137

6.19 零测度集原象上的梯度为零139

6.20 Green函数的分布Laplace算子140

6.21 Poisson方程的解141

6.22 正分布为正测度143

6.23 Yukawa位势148

6.24 W1,p（Ω）的对偶150

第七章 Sobolev空间H1和H1/2154

7.1 引言154

7.2 H1（Ω）的定义154

7.3 H1（Ω）的完备性155

7.4 与C∞（Ω）函数相乘156

7.5 关于H1（Ω）和W1,2（Ω）的注记157

7.6 C∞（Ω）在H1（Ω）中稠密157

7.7 H1（Rn）函数的分部积分158

7.8 梯度的凸不等式160

7.9 H1（Rn）的Fourier刻划162

7.10 -△是热核的无穷小生成元163

7.11 H1/2（Rn）的定义164

7.12 （f,｜p｜f）和（f,？f）的积分公式166

7.13 相对论动能的凸不等式167

7.14 C？（Rn）在H1/2（Rn）中稠密168

7.15 ？和？-m对分布的作用168

7.16 C∞函数与H1/2函数相乘170

7.17 对称递减重排减少动能171

7.18 弱极限172

7.19 磁场：H？空间173

7.20 H？（Rn）的定义174

7.21 反磁不等式175

7.22 C？（Rn）在H？（Rn）中稠密176

第八章 Sobolev不等式179

8.1 引言179

8.2 D1（Rn）和D1/2（Rn）的定义181

8.3 关于梯度的Sobolev不等式182

8.4 关于｜p｜的Sobolev不等式184

8.5 一维和二维的Sobolev不等式185

8.6 弱收敛蕴涵测度有限集合上的强收敛187

8.7 弱收敛蕴涵着几乎处处收敛191

8.8 关于Wm,p（Ω）的Sobolev不等式192

8.9 Rellich-Kondrashov定理193

8.10 平移后的非零弱收敛194

8.11 关于Wm,p（Ω）的Poincaré不等式196

8.12 关于Wm,p（Ω）的Poincaré-Sobolev不等式197

8.13 Nash不等式198

8.14 对数型Sobolev不等式201

8.15 压缩半群简介202

8.16 Nash不等式和光滑估计的等价性205

8.17 在热方程上的应用206

8.18 通过对数型Sobolev不等式导出热核209

第九章 位势理论与Coulumb能量213

9.1 引言213

9.2 调和、下调和以及上调和函数的定义214

9.3 调和、下调和以及上调和函数的性质215

9.4 强极大值原理219

9.5 Harnack不等式220

9.6 下调和函数为位势221

9.7 球面电荷分布与点电荷“等效”223

9.8 Coulumb能量的正性质225

9.9 关于△-μ2的平均值不等式226

9.10 Schr？dinger“波函数”的下界228

9.11 Yukawa方程的唯一解230

第十章 Poisson方程解的正则性232

10.1 引言232

10.2 Poisson方程解的连续性和一阶可微性234

10.3 Poisson方程解的高阶可微性236

第十一章 变分法介绍240

11.1 引言240

11.2 Schr？dinger方程241

11.3 动能对势能的控制243

11.4 势能的弱连续性246

11.5 E0的极小元的存在性247

11.6 高阶特征值和特征函数249

11.7 解的正则性251

11.8 极小元的唯一性252

11.9 正解的唯一性253

11.10 例子（氢原子）254

11.11 Thomas-Fermi问题255

11.12 无约束Thomas-Fermi问题极小元的存在性256

11.13 Thomas-Fermi方程257

11.14 Thomas-Fermi极小元258

11.15 电容器问题260

11.16 电容器问题的解264

11.17 球具有最小电容267

第十二章 特征值的进一步研究269

12.1 极小极大原理270

12.2 广义极小极大原理271

12.3 域上特征值之和的界273

12.4 Schr？dinger特征值之和的界275

12.5 反对称函数的动能280

12.6 半经典逼近282

12.7 相干态的定义284

12.8 单位分解285

12.9 非相对论动能的表示287

12.10 相对论动能的界288

12.11 区域上前N个特征值之和288

12.12 Schr？dinger特征值之和的大N渐近性291

符号表296

参考文献300

索引307

译者后记312