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第1章 多项式理论1

1.1 内容概述1

1.1.1 一元多项式环1

1.1.2 整除性理论1

1.1.3 最大公因式与互素2

1.1.4 因式分解的理论2

1.1.5 根的理论3

1.1.6 多元多项式3

1.2 一元多项式重点题型及解题方法4

1.2.1 由条件从定义出发的解题方法4

1.2.2 比较系数法6

1.2.3 代值法7

1.2.4 利用定理证明8

1.2.5 有关整系数多项式的问题10

1.2.6 有关多项式整除的问题15

1.2.7 有关多项式最大公因式与多项式不可约的问题20

1.2.8 有关多项式互素的问题24

1.2.9 有关多项式根的问题25

1.3 多元多项式重点题型与解题方法29

1.3.1 用初等对称多项式表示对称多项式的三种方法29

1.3.2 有关对称多项式的证明题31

第2章 行列式34

2.1 内容概述34

2.1.1 排 列34

2.1.2 行列式34

2.2 重点题型与解题方法36

2.2.1 利用行列式定义的证明与计算36

2.2.2 依行列展开计算行列式38

2.2.3 化为上（下）三角形计算行列式40

2.2.4 降阶法46

2.2.5 分行（列）相加法50

2.2.6 加边法52

2.2.7 数学归纳法53

2.2.8 递推公式法54

2.2.9 折成行列式之积56

2.2.10 利用多项式理论计算行列式58

2.2.11 利用矩阵理论计算行列式60

2.2.12 与范德蒙行列式有关的计算63

2.2.13 n阶循环行列式的计算方法69

2.2.14 利用组合公式计算行列式71

2.2.15 与代数余子式有关的行列式的计算72

第3章 矩 阵75

3.1 内容概述75

3.1.1 矩阵的运算75

3.1.2 特殊矩阵75

3.1.3 伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程、初等变换、初等矩阵76

3.1.4 矩阵A的秩77

3.2 重点题型与解题方法78

3.2.1 求满足一定条件的矩阵的计算题及验证题78

3.2.2 矩阵方幂的求解81

3.2.3 矩阵可逆性的证明及逆矩阵的求法84

3.2.4 矩阵的秩及相关问题的计算和证明90

3.2.5 有关分块矩阵的计算与证明95

3.2.6 与方阵A的伴随矩阵A有关的计算与证明100

3.2.7 求解矩阵方程103

第4章 线性方程组109

4.1 内容提要109

4.1.1 有解的判别法与解的个数109

4.1.2 线性方程组的解的结构109

4.1.3 带参数的线性方程组的求解110

4.2 重点题型与解题方法110

4.2.1 利用克莱姆法则解线性方程组110

4.2.2 线性方程组有解的判定112

4.2.3 线性方程组解的结构及有关的问题114

4.2.4 含参数的线性方程组的求解117

4.2.5 有关基础解系的证明123

4.2.6 线性方程组的同解126

4.2.7 线性方程组的公共解129

4.2.8 综合题131

第5章 向量空间135

5.1 内容提要135

5.1.1 向量空间、子空间135

5.1.2 线性相关性135

5.1.3 基与维数136

5.1.4 坐 标136

5.1.5 向量空间的同构136

5.2 重点题型与解题方法137

5.2.1 判断是否为向量空间或子空间137

5.2.2 线性相关性的有关证明138

5.2.3 有关基与维数的问题140

5.2.4 有关过渡矩阵的问题143

5.2.5 有关子空间的相关问题144

5.2.6 有关同构的问题149

第6章 线性变换151

6.1 内容提要151

6.1.1 线性映射、线性变换151

6.1.2 线性变换和矩阵的关系151

6.1.3 特征值与特征向量152

6.1.4 线性变换与矩阵在相似关系之下的对角化问题152

6.2 重要题型与解题方法153

6.2.1 线性变换的判定与证明153

6.2.2 求线性变换关于指定基的矩阵及矩阵相似对角化问题155

6.2.3 线性变换与矩阵问题的相互转化163

6.2.4 线性变换的象与核165

6.2.5 与线性变换有关的直和问题169

6.2.6 有关特征多项式与特征值等问题174

6.2.7 哈密尔顿-凯莱定理的应用185

6.2.8 综合题187

第7章 欧氏空间及其线性变换189

7.1 内容提要189

7.1.1 欧氏空间及其度量性质189

7.1.2 标准正交基189

7.1.3 正交补、正射影190

7.1.4 欧氏空间的同构190

7.1.5 正交变换190

7.1.6 对称变换191

7.2 重要题型与解题方法191

7.2.1 有关度量矩阵的问题191

7.2.2 有关欧氏空间的子空间、维数、基的问题192

7.2.3 有关线性相关性的问题195

7.2.4 实对称矩阵的计算及其对角化196

7.2.5 有关正交变换、正交矩阵的问题202

7.2.6 有关实对称矩阵及实矩阵的问题208

第8章 λ矩阵与若当标准形213

8.1 内容提要213

8.1.1 λ矩阵及其等价213

8.1.2 行列式因子、不变因子与初等因子213

8.1.3 最小多项式与若当标准形214

8.2 重点题型与解题方法215

8.2.1 有关λ-矩阵的计算215

8.2.2 利用若当标准形的证明223

8.2.3 有关λ矩阵等价226

8.2.4 有关零化多项式、特征多项式、最小多项式及其关系227

8.2.5 有关矩阵的相似231

8.2.6 有关矩阵的分解236

第9章 二次型237

9.1 内容提要237

9.1.1 二次型与它的标准形237

9.1.2 复、实二次型237

9.1.3 正定二次型238

9.2 重要题型与解题方法239

9.2.1 化二次型为标准形239

9.2.2 二次型与对称矩阵问题的相互转化242

9.2.3 实对称矩阵的开方245

9.2.4 关于正定性问题的判定及证明246

参考文献264