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1绪论1

1.1数值分析的对象和特点1

1.2误差的基本概念1

1.2.1误差的来源1

1.2.2绝对误差2

1.2.3相对误差2

1.2.4有效数3

1.2.5数据误差对函数值的影响4

1.3机器数系7

1.3.1机器数系7

1.3.2机器数系的运算及误差估计8

1.4数值稳定问题12

1.4.1数值稳定性12

1.4.2良态问题与病态问题15

1.4.3简化计算步骤，减少运算次数17

习题118

2非线性方程的解法21

2.1概述21

2.1.1根的搜索21

2.1.2二分法22

2.2简单迭代法24

2.2.1迭代格式的构造24

2.2.2迭代法的收敛性25

2.2.3迭代法的收敛速度30

2.2.4 Aitken加速法32

2.3 Newton法35

2.3.1 Newton迭代格式及其几何意义35

2.3.2局部收敛36

2.3.3求重根的修正Newton法37

2.3.4大范围收敛39

2.3.5 Newton法的变形42

2.4多项式方程的求根43

2.4.1实系数多项式零点的分布43

2.4.2劈因子法47

2.5应用实例：薄壳结构的静力计算50

2.5.1问题的背景50

2.5.2数学模型51

2.5.3计算方法与结果分析52

习题254

3线性代数方程组数值解法57

3.1引言57

3.2消去法58

3.2.1三角方程组的解法58

3.2.2 Gauss消去法59

3.2.3追赶法64

3.2.4列主元Gauss消去法65

3.3矩阵的直接分解法67

3.3.1矩阵的直接分解法67

3.3.2对称矩阵的直接分解法72

3.3.3列主元的三角分解法75

3.4方程组的性态与误差分析77

3.4.1向量范数78

3.4.2矩阵范数80

3.4.3方程组的性态及条件数89

3.4.4方程组近似解可靠性的判别92

3.5迭代法94

3.5.1迭代格式的一般形式94

3.5.2几个常用的迭代格式94

3.5.3迭代格式的收敛性98

3.6幂法及反幂法106

3.6.1求主特征值的幂法106

3.6.2反幂法113

3.7应用实例：纯电阻型立体电路分析115

3.7.1问题的背景115

3.7.2数学模型116

3.7.3计算方法与结果分析117

习题3120

4多项式插值与函数最佳逼近128

4.1 Lagrange插值128

4.1.1基本插值多项式129

4.1.2 Lagrange插值多项式130

4.1.3插值余项132

4.2差商、差分和Newton插值134

4.2.1差商及Newton插值多项式136

4.2.2差分及等距节点Newton插值多项式140

4.3 Hermite插值142

4.4高次插值的缺点及分段插值148

4.4.1高次插值的误差分析148

4.4.2分段线性插值151

4.4.3分段Hermite插值152

4.5 3次样条插值153

4.5.1 3次样条插值函数154

4.5.2 3次样条插值函数的求法155

4.5.3 3次样条插值函数的收敛性159

4.6有理函数插值162

4.7最佳一致逼近168

4.7.1线性赋范空间168

4.7.2最佳一致逼近多项式170

4.7.3 Chebyshev多项式174

4.7.4近似最佳一致逼近多项式177

4.8最佳平方逼近179

4.8.1内积空间179

4.8.2最佳平方逼近181

4.8.3连续函数的最佳平方逼近183

4.8.4超定线性方程组的最小二乘解185

4.8.5离散数据的最佳平方逼近187

4.9应用实例：用样条函数设计公路平面曲线189

4.9.1问题的背景189

4.9.2数学模型189

4.9.3计算方法与结果分析190

习题4192

5数值积分与数值微分197

5.1数值积分的基本概念197

5.2插值型求积公式198

5.2.1插值型求积公式198

5.2.2代数精度201

5.2.3梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的截断误差204

5.2.4求积公式的稳定性206

5.3复化求积公式206

5.3.1复化梯形公式207

5.3.2复化Simpson公式210

5.3.3复化Cotes公式212

5.3.4复化求积公式的阶213

5.4 Romberg求积法214

5.4.1 Romberg求积公式214

5.4.2 Romberg求积法的一般公式217

5.5 Gauss求积公式219

5.5.1 Gauss求积公式220

5.5.2正交多项式223

5.5.3区间[—1，1]上的Gauss公式225

5.5.4区间[a， b]上的Gauss公式226

5.5.5 Gauss公式的截断误差228

5.5.6 Gauss公式的稳定性和收敛性229

5.5.7带权积分231

5.6振荡函数的积分233

5.7重积分的近似计算238

5.8数值微分244

5.8.1数值微分问题的提出244

5.8.2插值型求导公式245

5.8.3样条求导249

5.9应用实例：混频器中变频损耗的数值计算250

5.9.1问题的背景250

5.9.2数学模型251

5.9.3计算方法与结果分析252

习题5253

6常微分方程数值解法257

6.1微分方程数值解法概述257

6.1.1问题及基本假设257

6.1.2离散化方法258

6.2 Euler方法258

6.2.1 Euler公式258

6.2.2后退Euler公式262

6.2.3梯形公式263

6.2.4预测校正系统与改进Euler公式263

6.2.5整体截断误差265

6.3 Runge-Kutta方法266

6.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想266

6.3.2 2阶Runge-Kutta公式268

6.3.3高阶Runge-Kutta公式270

6.3.4隐式Runge-Kutta公式273

6.4单步方法的收敛性和稳定性273

6.4.1单步方法的收敛性274

6.4.2单步方法的稳定性276

6.4.3单步方法的自适应算法277

6.4.4单步方法的加速278

6.5线性多步法279

6.5.1基于数值积分的构造方法280

6.5.1.1 Adams显式公式280

6.5.1.2 Adams隐式公式282

6.5.1.3 Adams预测校正方法284

6.5.1.4 Adams公式的加速286

6.5.2基于Taylor展开的待定系数方法286

6.5.3多步法的收敛性和稳定性289

6.5.4绝对稳定性和绝对稳定域290

6.6 1阶微分方程组与高阶微分方程292

6.6.1 1阶微分方程组292

6.6.2高阶微分方程293

6.6.3刚性问题295

6.7边值问题的数值解法297

6.7.1试射法298

6.7.2差分法300

6.8应用实例：磁流体发电通道的数值计算302

6.8.1问题的背景302

6.8.2数学模型302

6.8.3计算方法与结果分析304

习题6305

7偏微分方程数值解法308

7.1抛物型方程的差分解法308

7.1.1网格剖分309

7.1.2古典显格式310

7.1.3古典隐格式312

7.1.4 Crank-Nicolson格式313

7.1.5 Richardson格式316

7.2差分格式的稳定性和收敛性321

7.2.1差分格式的稳定性321

7.2.2差分格式的收敛性328

7.3双曲型方程的差分解法330

7.3.1显格式331

7.3.2隐格式333

7.4椭圆型方程的差分解法336

7.4.1差分格式的建立337

7.4.2差分格式解的存在唯一性及其收敛性338

7.5应用实例：水污染方程的有限差分解法343

7.5.1问题的背景343

7.5.2数学模型343

7.5.3计算方法与结果分析344

习题7345

习题参考答案347

参考文献400