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第1章 预备知识1

1.1常用不等式1

1.2置换矩阵和主子矩阵5

1.2.1置换矩阵与酉矩阵5

1.2.2主子矩阵与Schur补6

1.2.3 Sherman-Morrison-Woodbury公式10

1.3正规矩阵10

1.3.1 Schur定理10

1.3.2正规矩阵11

1.3.3两个矩阵同时对角化或三角化14

1.3.4实反对称矩阵的有关理论16

1.3.5 H-合同与T-合同18

1.4向量范数和矩阵范数19

1.4.1向量范数19

1.4.2方阵范数22

1.4.3长方阵范数26

1.4.4矩阵范数的性质27

1.4.5范数的应用29

1.5矩阵分析33

1.5.1矩阵序列的极限33

1.5.2矩阵级数和矩阵幂级数34

1.5.3矩阵函数37

1.5.4常用矩阵函数的性质41

1.5.5函数矩阵微积分42

1.5.6一阶常系数线性微分方程组的解44

1.6特征值的估计与表示45

1.6.1 Gerschgorin定理45

1.6.2 Hermite矩阵特征值的表示48

1.7矩阵的特殊乘积51

1.7.1 Kronecker积51

1.7.2 Hadamard积和Fan积54

1.7.3 Khatri-Rao积56

1.8矩阵分解与广义逆矩阵57

1.8.1奇异值分解57

1.8.2三角分解58

1.8.3 Drazin逆61

1.8.4广义左逆和右逆65

1.9非负矩阵66

1.9.1非负矩阵的基本性质66

1.9.2不可约矩阵70

1.9.3 Perron-Frobenius定理73

1.9.4正矩阵与素矩阵79

1.9.5随机矩阵85

1.10迭代法与矩阵分裂87

1.10.1迭代法的基本原理87

1.10.2常用迭代法90

1.10.3矩阵的正则分裂95

1.11线性关系式组的相容性条件98

参考文献101

第2章 正定矩阵与稳定矩阵103

2.1 Hermite正定矩阵103

2.1.1定义和等价条件103

2.1.2乘积矩阵的正定性106

2.1.3有关不等式108

2.1.4在迭代法中的应用111

2.2正定矩阵114

2.2.1定义和基本性质114

2.2.2合同标准形118

2.2.3正定矩阵的主子矩阵122

2.3正定矩阵的有关结果128

2.3.1乘积矩阵的正定性128

2.3.2行列式不等式133

2.4广义正定矩阵与P-矩阵144

2.4.1广义正定矩阵144

2.4.2 P-矩阵153

2.4.3正定矩阵类的包含关系157

2.5复正定矩阵158

2.5.1复正定矩阵158

2.5.2 H-合同标准形160

2.5.3复正定矩阵的主子矩阵162

2.5.4乘积矩阵的复正定性162

2.5.5行列式不等式163

2.5.6迹不等式165

2.5.7复广义正定矩阵166

2.6稳定矩阵167

2.6.1线性系统的稳定性168

2.6.2正稳定矩阵174

2.6.3一般惯性定理177

2.6.4 Routh-Hurwitz判定方法184

2.7其他稳定矩阵类190

2.7.1 D-稳定矩阵190

2.7.2强稳定矩阵与V.L.稳定矩阵193

2.7.3 P0-矩阵195

2.7.4低阶矩阵稳定性的判定197

2.7.5稳定矩阵类的包含关系204

2.8振荡矩阵206

2.8.1相伴矩阵及其性质206

2.8.2全非负矩阵与全正矩阵208

2.8.3振荡矩阵218

2.9 Jacobi矩阵224

2.9.1定义及Sturm性质224

2.9.2特征值与特征向量226

2.9.3全非负性与振荡性准则230

2.9.4稳定性判定231

参考文献233

第3章 对角占优矩阵241

3.1严格对角占优矩阵241

3.1.1严格对角占优矩阵241

3.1.2元素严格对角占优矩阵248

3.2不可约弱对角占优矩阵250

3.3具非零元素链对角占优矩阵252

3.3.1具非零元素链对角占优矩阵252

3.3.2半强对角占优矩阵254

3.4广义严格对角占优矩阵257

3.4.1定义和基本性质257

3.4.2 Nekrasov矩阵263

3.5判定广义严格对角占优矩阵的充分条件265

3.5.1连对角占优性265

3.5.2构造压缩因子266

3.5.3行模比值之和273

3.5.4细分指标集277

3.6广义严格对角占优矩阵的迭代判定281

3.6.1充要条件281

3.6.2充分条件290

3.6.3广义Nekrasov矩阵的判定292

3.6.4数值算例296

3.7 a-对角占优矩阵299

3.7.1 a-链对角占优矩阵299

3.7.2 a-对角占优矩阵307

3.7.3对角占优矩阵的包含关系312

3.8共轭对角占优矩阵312

3.8.1共轭对角占优矩阵312

3.8.2比较矩阵的共轭对角占优性316

3.9分块对角占优矩阵318

参考文献325

第4章M-矩阵与H-矩阵340

4.1非奇M-矩阵的定义及基本性质340

4.1.1定义及基本性质340

4.1.2非奇M-矩阵的乘积347

4.2非奇M-矩阵的判定349

4.2.1三角M-矩阵的判定349

4.2.2利用顺序主子式判定350

4.2.3 S-矩阵的判定353

4.2.4利用对称分量判定354

4.3一些特殊的实方阵355

4.3.1逆正矩阵与单调矩阵355

4.3.2半正矩阵358

4.3.3具有正对角元素的广义严格对角占优矩阵358

4.3.4实特征值为正值的实方阵360

4.4非奇M-矩阵的等价条件363

4.4.1 50个充要条件介绍363

4.4.2 50个条件的包含关系369

4.5一般M-矩阵373

4.5.1 M-矩阵的定义与基本性质373

4.5.2不可约M-矩阵376

4.5.3广义逆正矩阵379

4.5.4 M-矩阵的等价条件384

4.5.5可约奇异M-矩阵387

4.6具有“性质c，，的M-矩阵389

4.6.1定义与基本性质390

4.6.2等价条件393

4.7逆M-矩阵399

4.7.1逆M-矩阵的定义与性质399

4.7.2逆M-矩阵的结构特征401

4.7.3三对角逆M-矩阵405

4.7.4逆M0-矩阵407

4.8 N0-矩阵与F0-矩阵409

4.8.1 N-矩阵与N0-矩阵409

4.8.2 F0-矩阵418

4.8.3 L-矩阵422

4.9 M-矩阵的有关结果423

4.9.1逆矩阵∞-范数的估计423

4.9.2行列式不等式430

4.9.3最小特征值的估计436

4.10非奇H-矩阵439

4.10.1定义与判定方法439

4.10.2基本性质441

4.10.3有关不等式446

参考文献449

第5章 应用举例454

5.1迭代法的收敛性454

5.1.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性454

5.1.2 SOR迭代法和SSOR迭代法的收敛性456

5.1.3 AOR和SAOR迭代法的收敛性460

5.1.4 API法的收敛性463

5.2周期三对角方程组求解464

5.2.1追赶法与变参数追赶法464

5.2.2 PE方法与PEk方法474

5.3线性矩阵方程求解488

5.3.1 Lyapunov矩阵方程的参数迭代解法488

5.3.2 Lyapunov矩阵方程的分组迭代解法493

5.4有限齐次Markov链499

5.5投入产出分析509

5.5.1开式Leontief模型509

5.5.2闭式Leontief模型517

参考文献523