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第1章 函数、极限与连续1

1．1函数1

1．1．1函数的概念1

1．1．2函数的几种简单性态4

1．1．3初等函数5

1．1．4习题1-19

1．2极限及运算10

1．2．1数列的极限10

1．2．2函数的极限11

1．2．3极限的运算法则14

1．2．4两个重要极限16

1．2．5无穷小与无穷大18

1．2．6习题1-221

1．3函数的连续性21

1．3．1函数连续性的概念22

1．3．2函数的间断点23

1．3．3初等函数的连续性24

1．3．4闭区间上连续函数的性质25

1．3．5习题1-327

1．4本章小结27

1．4．1基本概念27

1．4．2基本知识27

1．4．3基本方法28

1．5本章习题28

第2章 导数与微分31

2．1导数的概念31

2．1．1导数的定义31

2．1．2导数的实际意义34

2．1．3可导与连续的关系35

2．1．4习题2-136

2．2导数的运算36

2．2．1导数的四则运算法则36

2．2．2复合函数的求导法则38

2．2．3隐函数的求导39

2．2．4由参数方程所确定的函数的求导42

2．2．5高阶导数43

2．2．6习题2-244

2．3微分的概念44

2．3．1微分的定义44

2．3．2微分的运算法则45

2．3．3微分在近似计算中的应用47

2．3．4习题2-350

2．4本章小结51

2．4．1基本概念51

2．4．2主要内容51

2．5本章习题53

第3章 导数的应用55

3．1微分中值定理55

3．1．1中值定理55

3．1．2洛必达法则56

3．1．3习题3-158

3．2函数的单调性与极值59

3．2．1函数单调性的判别法59

3．2．2函数的极值及其求法60

3．2．3函数的最大值和最小值62

3．2．4习题3-264

3．3曲线的凹凸性与拐点64

3．3．1曲线的凹凸性64

3．3．2曲线的拐点65

3．3．3习题3-366

3．4曲线的曲率67

3．4．1弧微分67

3．4．2曲率的概念68

3．4．3曲率的计算公式69

3．4．4曲率半径与曲率圆70

3．4．5习题3-471

3．5本章小结72

3．5．1基本概念72

3．5．2主要内容72

3．6本章习题74

第4章 不定积分75

4．1不定积分的概念75

4．1．1原函数的概念75

4．1．2不定积分的定义和几何意义76

4．1．3基本积分公式76

4．1．4不定积分的性质77

4．1．5习题4-179

4．2不定积分的计算79

4．2．1直接积分法79

4．2．2换元积分法80

4．2．3分部积分法83

4．2．4习题4-284

4．3本章小结85

4．3．1基本概念85

4．3．2主要内容85

4．4本章习题87

第5章 定积分及其应用89

5．1定积分89

5．1．1累积问题89

5．1．2定积分的概念92

5．1．3定积分的几何意义及性质93

5．1．4习题5-195

5．2微积分基本定理96

5．2．1积分上限函数96

5．2．2微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨公式97

5．2．3习题5-298

5．3定积分的换元法和分部积分法99

5．3．1定积分的换元法99

5．3．2定积分的分部积分法100

5．3．3习题5-3101

5．4广义积分102

5．4．1无穷区间的广义积分102

5．4．2无界函数的广义积分103

5．4．3习题5-4104

5．5定积分在几何中的应用105

5．5．1定积分的微元法105

5．5．2平面图形的面积107

5．5．3体积109

5．5．4平面曲线的弧长112

5．5．5习题5-5113

5．6定积分在物理中的应用114

5．6．1变力沿直线作功114

5．6．2液体的静压力116

5．6．3平均值和均方根117

5．6．4习题5-6118

5．7数值积分初步119

5．7．1数值积分介绍119

5．7．2插值求积公式120

5．7．3习题5-7124

5．8本章小结124

5．8．1基本概念124

5．8．2主要内容124

5．8．3应注意的问题125

5．9本章习题126

第6章 常微分方程128

6．1常微分方程的概念128

6．1．1微分方程基本概念128

6．1．2应用举例129

6．1．3习题6-1130

6．2一阶微分方程131

6．2．1可分离变量的微分方程131

6．2．2齐次微分方程133

6．2．3一阶线性微分方程134

6．2．4习题6-2136

6．3二阶常系数线性微分方程137

6．3．1二阶常系数线性微分方程的解的结构137

6．3．2二阶常数线性齐次微分方程的解法138

6．3．3二阶常系数线性非齐次微分方程的解法140

6．3．4微分方程近似解143

6．3．5习题6-3145

6．4微分方程应用146

6．4．1应用举例146

6．4．2习题6-4148

6．5本章小结149

6．5．1基本概念149

6．5．2主要内容149

6．6本章习题150

第7章 级数152

7．1数项级数152

7．1．1无穷级数的概念152

7．1．2数项级数收敛的必要条件与性质154

7．1．3正项级数及其审敛法155

7．1．4交错级数及其审敛法158

7．1．5绝对收敛与条件收敛159

7．1．6习题7-1160

7．2幂级数161

7．2．1函数项级数的概念161

7．2．2幂级数及其收敛半径与收敛区间161

7．2．3幂级数的运算及和函数163

7．2．4泰勒定理165

7．2．5幂级数的应用举例166

7．2．6习题7-2170

7．3傅里叶级数171

7．3．1三角函数系及其正交性171

7．3．2以2π为周期函数展开成傅里叶级数172

7．3．3周期不为2π的函数展开成傅里叶级数176

7．3．4周期为2l的周期函数展开成傅里叶级数178

7．3．5习题7-3179

7．4本章小结180

7．4．1基本概念180

7．4．2主要内容180

7．5本章习题181

第8章 积分变换184

8．1拉氏变换184

8．1．1拉氏变换的概念184

8．1．2两个重要函数185

8．1．3习题8-1188

8．2拉氏变换的性质188

8．2．1性质1～8188

8．2．2应用举例190

8．2．3常用函数的拉氏变换表191

8．2．4习题8-2191

8．3拉氏逆变换192

8．3．1拉氏逆变换的性质192

8．3．2应用举例192

8．3．3习题8-3193

8．4拉氏变换的应用193

8．4．1应用举例193

8．4．2习题8-4195

8．5 z变换195

8．5．1序列196

8．5．2 z变换的概念198

8．5．3 z变换的性质199

8．5．4逆z变换200

8．5．5 z变换的应用201

8．5．6习题8-5202

8．6本章小结202

8．6．1基本概念202

8．6．2主要内容203

8．7本章习题205

第9章 线性代数基础207

9．1行列式207

9．1．1二阶和三阶行列式207

9．1．2 n阶行列式209

9．1．3行列式的性质211

9．1．4习题9-1213

9．2矩阵214

9．2．1矩阵的概念214

9．2．2矩阵的线性运算216

9．2．3矩阵的乘法运算218

9．2．4矩阵的转置运算221

9．2．5习题9-2222

9．3逆矩阵与初等变换223

9．3．1线性方程组的矩阵表示223

9．3．2逆矩阵的概念224

9．3．3用逆矩阵解线性方程组227

9．3．4矩阵的初等变换228

9．3．5习题9-3231

9．4一般线性方程组的求解232

9．4．1高斯-若当消元法232

9．4．2矩阵的秩233

9．4．3一般线性方程组的求解问题234

9．4．4习题9-4239

9．5本章小结240

9．5．1基本概念240

9．5．2主要内容240

9．6本章习题242

第10章 概率与数理统计基础244

10．1随机事件及其概率244

10．1．1随机事件及运算244

10．1．2概率的定义247

10．1．3概率的基本性质249

10．1．4习题10-1249

10．2概率的基本公式250

10．2．1加法公式250

10．2．2条件概率与乘法公式251

10．2．3全概率公式253

10．2．4事件的独立性253

10．2．5贝努里概型254

10．2．6习题10-2256

10．3随机变量及其分布257

10．3．1随机变量257

10．3．2离散型随机变量及其分布列258

10．3．3连续型随机变量及其密度函数261

10．3．4分布函数262

10．3．5习题10-3267

10．4随机变量的数字特征269

10．4．1数学期望270

10．4．2方差273

10．4．3习题10-4276

10．5数理统计概念277

10．5．1数理统计基本概念277

10．5．2数据的初步处理280

10．5．3数理统计中的几个分布283

10．5．4习题10-5286

10．6参数估计287

10．6．1参数的点估计287

10．6．2估计量的评价标准289

10．6．3参数的区间估计291

10．6．4习题10-6294

10．7假设检验295

10．7．1假设检验的基本概念295

10．7．2一个正态总体参数的假设检验297

10．7．3习题10-7300

10．8一元回归分析301

10．8．1相关关系概念301

10．8．2一元线性回归分析303

10．8．3习题10-8310

10．9本章小结311

10．9．1基本概念311

10．9．2主要内容311

10．10本章习题311

第11章 数学实验简介314

11．1基本实验与图形314

11．1．1 MATLAB基本实验操作314

上机练习题11-1318

11．1．2基本图形实验318

上机练习题11-2324

11．2微积分应用实验325

11．2．1实验内容325

11．2．2实验目的325

11．2．3方法与实例326

上机练习题11-3331

11．3工程数学应用实验331

11．3．1级数与拉普拉斯变换实验331

上机练习题11-4337

11．3．2 MATLAB的线性代数实验337

上机练习题11-5341

11．3．3概率、统计实验341

上机练习题11-6347

参考答案348

附录A 泊松分布表378

附录B 标准正态分布表379

附录C X2分布表380

附录D t分布表381

附录E 初等数学常用公式382

E．1代数382

E．2三角383

E．3初等几何385

E．4平面解析几何385

附录F 希腊字母388

参考文献389