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第Ⅰ部分　建模、计算机与误差分析第1章　数学建模、数值方法与问题求解3

1.1　一个简单的数学模型4

1.2　工程与科学中的守恒律10

1.3　本书中涉及的数值方法13

1.4　习题14

第2章　MATLAB基础19

2.1 MATLAB环境20

2.2　赋值21

2.2.1　标量21

2.2.2　数组、向量和矩阵23

2.2.3 冒号操作符25

2.2.4　linspace和logspace函数26

2.3 数学运算26

2.4　使用内置函数30

2.5　绘图33

2.6　其他资源36

2.7　案例研究：探索性数据分析37

2.8 习题39

第3章 编写MATLAB程序45

3.1 M文件46

3.1.1　脚本文件46

3.1.2　函数文件47

3.1.3　子函数49

3.2　输入输出50

3.3　结构化编程54

3.3.1 决策55

3.3.2　循环62

3.4　嵌套与缩进66

3.5　将函数传入M文件69

3.5.1 匿名函数69

3.5.2　函数函数71

3.5.3　传递参数73

3.6　案例研究：蹦极运动员的速度74

3.7　习题78

第4章　舍入与截断误差85

4.1 误差86

4.1.1　准确度与精确度86

4.1.2　误差定义87

4.2　舍入误差90

4.2.1　计算机中数的表示90

4.2.2　计算机中数的算术运算95

4.3　截断误差97

4.3.1　泰勒级数98

4.3.2　泰勒级数展开的余项101

4.3.3　用泰勒级数估计截断误差103

4.3.4　数值差分104

4.4　总数值误差108

4.4.1　数值微分的误差分析109

4.4.2　数值误差的控制111

4.5　粗差、模型误差和数据不确定性112

4.5.1　粗差112

4.5.2　模型误差113

4.5.3　数据不确定性113

4.6　习题113

第Ⅱ部分　求根与最优化121

第5章　求根：划界法121

5.1 工程和科学领域中的求根问题122

5.2 图形法123

5.3　划界法与初始猜测值125

5.4　二分法129

5.5　试位法134

5.6　案例研究：温室气体与雨水137

5.7 习题141

第6章　方程求根：开方法147

6.1 简单不动点迭代148

6.2　牛顿-拉弗森方法152

6.3　割线法157

6.4 MATLAB函数：fzero159

6.5 多项式162

6.6　案例研究：管道摩擦力165

6.7　习题169

第7章　最优化175

7.1　简介与背景176

7.2　一维最优化178

7.2.1　黄金分割搜索179

7.2.2　抛物线插值184

7.2.3　MATLAB函数：fminbnd186

7.3　多维最优化187

7.4　案例研究：平衡与极小势能189

7.5　习题190

第Ⅲ部分　线性方程组203

第8章　线性代数方程和矩阵203

8.1　矩阵代数概述205

8.1.1　矩阵符号205

8.1.2　矩阵的运算规则207

8.1.3　将线性代数方程组表示成矩阵形式212

8.2 用MATLAB求解线性代数方程组213

8.3　案例研究：电路中的电流和电压215

8.4　习题218

第9章　高斯消元法223

9.1　求解小型方程组224

9.1.1　绘图法224

9.1.2　行列式和克拉默法则225

9.1.3　未知数消元法228

9.2　朴素高斯消元法229

9.2.1　MATLABM文件：Gauss Naive232

9.2.2　运算次数233

9.3　选主元235

9.4　三对角方程组238

9.5　案例研究：热杆模型240

9.6　习题242

第10章　LU分解249

10.1　LU分解概述250

10.2　高斯消元法与LU分解251

10.3　楚列斯基分解256

10.4　MATLAB的左除运算259

10.5 习题259

第11章　矩阵求逆和条件数263

11.1　矩阵的逆263

11.1.1　逆矩阵的计算263

11.1.2　激励-响应计算265

11.2　误差分析和方程组的条件数267

11.2.1 向量和矩阵范数268

11.2.2　矩阵条件数269

11.2.3　用MATLAB计算范数和条件数271

11.3　案例研究：室内空气污染272

11.4　习题275

第12章　迭代法279

12.1　线性方程组：高斯-赛德尔279

12.1.1　收敛性与对角占优282

12.1.2　MATLABM文件：GaussSeidel282

12.1.3　松弛法283

12.2　非线性方程组284

12.2.1　逐次代换285

12.2.2　牛顿—拉弗森286

12.3　案例研究：化学反应291

12.4　习题293

第Ⅳ部分 曲线拟合299

第13章　线性回归299

13.1　统计学回顾300

13.1.1　描述统计学300

13.1.2　正态分布303

13.1.3　用MATLAB计算描述统计学量304

13.2　线性最小二乘回归306

13.2.1 “最佳”拟合条件307

13.2.2　直线的最小二乘拟合308

13.2.3　线性回归误差的量化310

13.3　非线性关系的线性化314

13.4　计算机应用317

13.4.1　MATLABM文件：linregr317

13.4.2　MATLAB函数：polyfit和polyval319

13.5　案例研究：酶动力学320

13.6 习题324

第14章　一般线性最小二乘回归和非线性回归333

14.1　多项式回归333

14.2　多重线性回归336

14.3　一般线性最小二乘回归339

14.4　QR分解与反斜杆运算符342

14.5　非线性回归343

14.6　案例研究：拟合正弦曲线344

14.7 习题348

第15章　多项式插值355

15.1　插值法导论356

15.1.1　确定多项式的系数357

15.1.2　MATLAB函数：polyfit和polyval358

15.2　牛顿插值多项式359

15.2.1　线性插值359

15.2.2　二次插值361

15.2.3　牛顿插值多项式的一般形式362

15.2.4　MATLABM文件：Newtint365

15.3　拉格朗日插值多项式366

15.4　逆插值368

15.5　外插值和振荡370

15.5.1　外插值370

15.5.2　振荡372

15.6　习题373

第16章　样条和分段插值379

16.1 样条导论379

16.2　线性样条381

16.3 二次样条384

16.4　三次样条387

16.4.1　三次样条的推导388

16.4.2　边界条件391

16.5　MATLAB中的分段线性插值392

16.5.1　MATLAB函数：spline393

16.5.2　MAYTLAB函数：interpl394

16.6　多维插值396

16.6.1　双线性插值396

16.6.2　MATLAB中的多维插值398

16.7　案例研究：传热399

16.8 习题402

第Ⅴ部分　积分与微分411

第17章　数值积分公式411

17.1　导论和背景412

17.1.1　什么是积分412

17.1.2　工程和科学中的积分413

17.2　牛顿-科特斯公式415

17.3　梯形法则416

17.3.1　梯形法则的误差417

17.3.2　复合梯形法则419

17.3.3　MATLABM文件：trap421

17.4　辛普森法则422

17.4.1 辛普森1/3法则423

17.4.2　复合辛普森1/3法则424

17.4.3　辛普森3/8法则426

17.5　高阶牛顿-科特斯公式428

17.6　非等距积分429

17.6.1　MATLABM文件：trapuneq429

17.6.2　MATLAB函数：trapz和cumtrapz430

17.7　开型方法432

17.8 多重积分433

17.9　案例研究：用数值积分计算功435

17.10　习题438

第18章　函数的数值积分445

18.1 导论445

18.2　龙贝格积分446

18.2.1　理查森外推法446

18.2.2　龙贝格积分公式448

18.3　高斯求积451

18.3.1　待定系数法452

18.3.2　两点高斯-勒让德公式的推导453

18.3.3 更多点的公式456

18.4 自适应求积457

18.5　案例研究：均方根电流459

18.6 习题462

第19章　数值微分467

19.1　导论和背景468

19.1.1　什么是微分468

19.1.2　工程和科学中的微分469

19.2　高精度微分公式471

19.3　理查森外推法474

19.4　不等距数据的导数475

19.5　含误差数据的导数与积分476

19.6　偏导数477

19.7 用MATLAB计算数值微分478

19.7.1 MATLAB函数：diff478

19.7.2 MATLAB函数：gradient480

19.8　案例研究：向量场的可视化482

19.9 习题484

第Ⅵ部分　常微分方程499

第20章　初值问题499

20.1 概述500

20.2 欧拉法501

20.2.1 欧拉法的误差分析503

20.2.2　欧拉法的稳定性504

20.2.3　MATLAB的M文件函数：eulode505

20.3 欧拉法的改进506

20.3.1 休恩法506

20.3.2　中点方法510

20.4　龙格-库塔方法511

20.4.1　二阶龙格-库塔方法512

20.4.2　古典四阶龙格-库塔方法513

20.5 方程组516

20.5.1　欧拉法516

20.5.2　龙格-库塔方法517

20.5.3　MATLAB的M文件函数：rk4sys519

20.6　案例研究：捕食者-猎物模型与混沌521

20.7 习题525

第21章 自适应方法和刚性方程组533

21.1 自适应龙格-库塔方法533

21.2　多步方法539

21.2.1　非自启动休恩法539

21.2.2　误差估计542

21.3 刚性543

21.4　MATLAB应用：带绳索的蹦极者548

21.5　案例研究：普林尼的间歇式喷泉549

21.6　习题552

第22章　边值问题557

22.1　导论和背景558

22.1.1　什么是边值问题558

22.1.2　工程和科学中的边值问题559

22.2　打靶法562

22.2.1 导数边界条件564

22.2.2　非线性ODE的打靶法566

22.3　有限差分法568

22.3.1　导数边界条件570

22.3.2　非线性ODE的有限差分法572

22.4　习题574

附录A　特征值581

附录B MATLAB内置函数591

附录C　MATLAB的M文件函数593

参考文献595