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第一章 极限与连续1

第一节 预备知识1

一、集合、区间和邻域1

二、一元函数3

三、参数方程与极坐标系11

习题1-113

第二节 极限的概念14

一、数列的极限14

二、当自变量趋于无穷大时函数的极限18

三、当自变量趋于有限值时函数的极限19

习题1-222

第三节 无穷小量 无穷大量23

一、无穷小量与无穷大量的概念23

二、无穷小量与无穷大量的关系25

三、无穷小量的运算性质25

四、函数极限与无穷小之间的关系26

习题1-326

第四节 极限的性质及运算法则27

一、数列极限与函数极限的关系27

二、极限的性质28

三、极限的运算法则29

习题1-431

第五节 极限存在准则 两个重要极限32

一、夹逼准则32

二、单调有界准则34

习题1-538

第六节 无穷小的比较38

一、无穷小的比较38

二、等价无穷小39

习题1-641

第七节 函数的连续性42

一、连续函数的概念42

二、函数的间断点43

三、连续函数的运算45

四、初等函数的连续性46

五、闭区间上连续函数的性质46

习题1-748

总习题一48

拓展阅读50

第二章 导数与微分55

第一节 导数的概念55

一、引例55

二、导数定义56

三、求导问题举例58

四、函数可导性与连续性的关系59

习题2-159

第二节 函数的求导法则60

一、导数的四则运算法则60

二、反函数的求导法则62

三、复合函数的求导法则64

习题2-265

第三节 高阶导数66

一、高阶导数的定义及其求法66

二、函数的线性组合及乘积的n阶导数68

习题2-368

第四节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数69

一、隐函数的导数69

二、对数求导法70

三、由参数方程确定的函数的导数71

四、相关变化率73

习题2-474

第五节 微分及其应用74

一、微分的概念74

二、微分的几何意义76

三、微分的基本公式和运算法则77

四、微分在近似计算中的应用79

习题2-580

总习题二81

拓展阅读84

第三章 微分中值定理与导数应用87

第一节 微分中值定理87

一、罗尔定理88

二、拉格朗日中值定理89

三、柯西中值定理92

习题3-193

第二节 洛必达（L′Hospital）法则93

一、0/0型未定式94

二、0/0型未定式95

三、其他类型的未定式96

习题3-297

第三节 泰勒（Taylor）公式98

一、泰勒公式98

二、几个常用函数的麦克劳林公式101

习题3-3104

第四节 函数单调性与极值104

一、函数单调性的判定法104

二、函数的极值107

习题3-4110

第五节 曲线的凹凸性与拐点111

一、曲线的凹凸性111

二、曲线的拐点113

习题3-5116

第六节 函数的最值及应用116

一、函数的最值116

二、实际问题的最值118

习题3-6120

第七节 曲率121

一、弧微分121

二、曲率的概念及其计算公式122

三、曲率圆124

习题3-7125

总习题三126

拓展阅读129

第四章 不定积分134

第一节 不定积分的概念与性质134

一、原函数与不定积分的概念134

二、不定积分的性质136

三、基本积分公式137

习题4-1138

第二节 换元积分法139

一、第一类换元积分法139

二、第二类换元积分法144

习题4-2149

第三节 分部积分法150

习题4-3152

第四节 有理函数类的不定积分153

一、有理函数的不定积分153

二、三角函数有理式的不定积分155

习题4-4157

总习题四157

拓展阅读160

第五章 定积分及其应用163

第一节 定积分的概念与性质163

一、引例163

二、定积分的定义165

三、定积分的性质167

习题5-1171

第二节 微积分基本定理172

一、积分上限的函数172

二、牛顿－莱布尼兹公式174

习题5-2177

第三节 定积分的换元法与分部积分法178

一、定积分的换元法178

二、分部积分法182

习题5-3184

第四节 定积分的几何应用185

一、定积分的元素法185

二、平面图形的面积186

三、体积190

四、平面曲线的弧长192

习题5-4194

第五节 定积分在物理学中的某些应用194

一、变力沿直线做功195

二、水的静压力196

三、引力196

习题5-5197

第六节 平均值197

一、函数的算术平均值197

二、函数的加权平均值198

三、函数的均方根平均值199

习题5-6200

第七节 反常积分200

一、无穷限的反常积分201

二、无界函数的反常积分202

三、无穷限反常积分的审敛法204

四、无界函数反常积分的审敛法205

习题5-7207

总习题五207

拓展阅读210

第六章 微分方程214

第一节 微分方程的基本概念214

一、引例214

二、基本概念215

习题6-1217

第二节 可分离变量的微分方程217

习题6-2220

第三节 一阶线性微分方程221

习题6-3225

第四节 可用变量代换法求解的一阶微分方程225

一、齐次型方程225

二、可化为齐次型的方程227

三、伯努利方程228

习题6-4229

第五节 可降阶的二阶微分方程230

一、y″＝f（x）型微分方程230

二、y″＝f（x，y′）型微分方程231

三、y″＝f（y，y′）型微分方程231

习题6-5232

第六节 线性微分方程解的结构233

一、基本概念233

二、线性微分方程的解的结构233

习题6-6235

第七节 二阶常系数线性微分方程236

一、二阶常系数线性微分方程236

二、二阶常系数非齐次线性微分方程239

三、欧拉方程242

习题6-7243

总习题六244

拓展阅读247

附录一 常用曲线图250

附录二 常用积分公式252

参考答案256

参考文献276