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第1章 函数1

1.1 预备知识1

1.1.1 变量与区间1

1.1.2 绝对值与邻域2

1.2 函数概念3

1.2.1 函数的定义3

1.2.2 函数的表示法4

1.3 函数的性质6

1.3.1 有界性6

1.3.2 单调性6

1.3.3 奇偶性7

1.3.4 周期性8

1.4 反函数9

1.5 复合函数10

1.6 初等函数11

1.6.1 基本初等函数11

1.6.2 初等函数15

习题116

阅读材料1函数是什么18

第2章 极限与连续21

2.1 数列的极限21

2.1.1 数列的概念21

2.1.2 数列极限实例22

2.1.3 数列极限的概念22

2.1.4 收敛数列的性质25

2.2 函数的极限26

2.2.1 x→∞时，函数f（x）的极限26

2.2.2 x→x0时，函数f（x）的极限27

2.2.3 函数极限的性质30

2.3 无穷小与无穷大31

2.3.1 无穷小31

2.3.2 无穷大33

2.3.3 无穷小与无穷大的关系34

2.4 极限的四则运算法则35

2.5 极限存在准则与两个重要极限39

2.5.1 准则Ⅰ（夹逼定理）39

2.5.2 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限40

2.5.3 两个重要极限42

2.6 无穷小的比较44

2.6.1 无穷小阶的定义45

2.6.2 等价无穷小的性质45

2.7 函数的连续性与间断点47

2.7.1 函数在一点的连续性47

2.7.2 区间上的连续函数49

2.7.3 函数的间断点49

2.8 连续函数的运算与初等函数的连续性51

2.8.1 连续函数的和、差、积、商的连续性51

2.8.2 反函数的连续性52

2.8.3 复合函数的连续性52

2.8.4 初等函数的连续性53

2.9 闭区间上连续函数的性质54

2.9.1 最大值与最小值定理与有界性定理54

2.9.2 零点定理与介值定理55

习题257

阅读材料2认识无限61

第3章 导数与微分63

3.1 导数的概念63

3.1.1 引例63

3.1.2 导数定义64

3.1.3 导数的几何意义66

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系67

3.2 基本初等函数的导数公式68

3.2.1 常函数的导数68

3.2.2 幂函数的导数68

3.2.3 指数函数的导数69

3.2.4 对数函数的导数69

3.2.5 三角函数的导数69

3.2.6 反三角函数的导数69

3.3 函数的求导法则70

3.3.1 函数和、差、积、商的求导法则70

3.3.2 反函数的导数72

3.3.3 复合函数的求导法则73

3.4 高阶导数76

3.5 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数78

3.5.1 隐函数的导数78

3.5.2 由参数方程所确定的函数的导数80

3.6 函数的微分81

3.6.1 微分的定义82

3.6.2 微分的几何意义84

3.6.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则84

3.6.4 函数的近似计算86

习题387

阅读材料3微积分的创立90

第4章 微分中值定理与导数的应用92

4.1 微分中值定理92

4.1.1 罗尔定理92

4.1.2 拉格朗日中值定理94

4.1.3 柯西中值定理96

4.2 洛必达法则97

4.2.1 0/0型未定式98

4.2.2 ∞/∞型未定式100

4.2.3 其他类型未定式101

4.3 函数单调性的判别法102

4.3.1 函数单调的必要条件103

4.3.2 函数单调性的判别法103

4.4 函数的极值与最值105

4.4.1 极值105

4.4.2 最大值和最小值108

4.5 曲线的凹凸性与拐点110

4.5.1 曲线凹凸性的定义110

4.5.2 曲线凹凸性的判别法111

4.5.3 拐点112

4.6 函数图形的描绘113

4.6.1 渐近线113

4.6.2 函数图形的描绘115

习题4117

阅读材料4牛顿121

第5章 不定积分122

5.1 不定积分的概念与性质122

5.1.1 原函数和不定积分的定义122

5.1.2 不定积分的几何意义123

5.1.3 不定积分的性质124

5.1.4 基本积分表124

5.2 换元积分法127

5.2.1 第一类换元法127

5.2.2 第二类换元法132

5.3 分部积分法137

5.4 几种特殊类型函数的积分140

5.4.1 有理函数的不定积分140

5.4.2 三角函数有理式的积分143

5.4.3 简单根式的积分144

习题5145

阅读材料5莱布尼茨148

第6章 定积分及其应用149

6.1 定积分的概念与性质149

6.1.1 定积分问题举例149

6.1.2 定积分的定义151

6.1.3 定积分的几何意义153

6.1.4 定积分的性质154

6.2 微积分基本公式157

6.2.1 积分上限的函数158

6.2.2 牛顿-莱布尼茨公式160

6.3 定积分的换元积分法与分部积分法161

6.3.1 定积分的换元积分法161

6.3.2 定积分的分部积分法164

6.4 广义积分165

6.4.1 无穷区间上的广义积分165

6.4.2 无界函数的广义积分167

6.5 定积分的应用169

6.5.1 定积分的元素法169

6.5.2 平面图形的面积170

6.5.3 立体的体积175

6.5.4 平面曲线的弧长178

习题6179

阅读材料6微积分的发明权之争184

第7章 微分方程185

7.1 微分方程的基本概念185

7.1.1 微分方程的定义185

7.1.2 微分方程的解186

7.2 一阶微分方程187

7.2.1 可分离变量的微分方程188

7.2.2 齐次方程188

7.2.3 一阶线性微分方程190

7.3 可降阶的高阶微分方程192

7.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程192

7.3.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程192

7.3.3 y＝f（y，y′）型的微分方程193

7.4 二阶线性微分方程解的结构194

7.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构194

7.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构195

7.5 二阶线性常系数齐次微分方程196

7.6 二阶线性常系数非齐次微分方程199

习题7203

阅读材料7三次数学危机207

附录 常用的初等代数公式与基本三角公式209

参考文献211