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第1章 命题逻辑1

1.1 命题和联结词1

1.1.1 命题1

1.1.2 命题联结词2

1.1.3 命题表达式5

1.1.4 真值表的构造6

1.1.5 命题符号化7

1.2 重言式8

1.2.1 命题公式分类8

1.2.2 重言式9

1.2.3 逻辑等价9

1.2.4 代入规则与替换规则11

1.2.5 对偶原理13

1.3 公式中的范式14

1.3.1 析取范式和合取范式14

1.3.2 主析取范式16

1.3.3 主合取范式20

1.4 命题联结词的扩充与归约23

1.4.1 命题联结词的扩充23

1.4.2 命题联结词的归约24

1.5 基于命题的推理25

1.5.1 基于真值表的推理26

1.5.2 基于推理规则的推理27

1.5.3 举例27

1.6 习题30

第2章 谓词逻辑33

2.1 谓词公式33

2.1.1 个体词33

2.1.2 谓词33

2.1.3 量词34

2.1.4 命题符号化34

2.1.5 谓词公式35

2.2 约束35

2.2.1 约束部分36

2.2.2 换名规则和代替规则36

2.2.3 公式的解释37

2.3 谓词公式中的永真式37

2.3.1 谓词公式的等价37

2.3.2 谓词公式的类型38

2.4 谓词公式中的范式39

2.5 谓词推理39

2.5.1 推理规则39

2.5.2 举例40

2.6 习题41

第3章 集合论43

3.1 基本概念43

3.2 集合间的关系45

3.3 集合的运算47

3.3.1 集合的基本运算47

3.3.2 集合的运算律49

3.3.3 例题51

3.4 包含排斥原理52

3.5 幂集合与笛卡儿积55

3.5.1 幂集合55

3.5.2 笛卡儿积56

3.6 集合运算与基数概念的扩展58

3.6.1 并集、交集的扩展58

3.6.2 基数概念的扩展59

3.7 习题60

第4章 二元关系63

4.1 基本概念63

4.1.1 二元关系的定义63

4.1.2 关系的表示65

4.2 关系的运算65

4.2.1 关系的并、交、补、差、对称差运算65

4.2.2 关系的复合运算66

4.2.3 关系的逆运算68

4.3 关系的性质69

4.3.1 关系性质的概念69

4.3.2 关系性质举例70

4.3.3 关系性质在关系图及关系矩阵中的特征71

4.4 关系的闭包71

4.4.1 闭包的定义71

4.4.2 关系R的闭包求法72

4.4.3 传递闭包的Warshall算法74

4.4.4 闭包的复合75

4.5 集合的划分和覆盖77

4.6 序关系78

4.6.1 偏序关系与偏序集的概念78

4.6.2 偏序集的哈斯图79

4.6.3 偏序集中的特殊元79

4.7 等价关系与等价类81

4.8 函数84

4.8.1 函数的概念84

4.8.2 逆函数与复合函数86

4.9 习题88

第5章 图论93

5.1 若干图论经典问题93

5.2 图的基本概念及矩阵表示96

5.2.1 图的基本概念96

5.2.2 图的矩阵表示方法100

5.3 路与连通度102

5.4 欧拉图与哈密顿图108

5.5 二部图与匹配110

5.6 平面图112

5.6.1 平面图及其性质112

5.6.2 平面图着色114

5.7 树116

5.7.1 树及其性质116

5.7.2 最小生成树118

5.7.3 有向树120

5.8 习题124

第6章 初等数论128

6.1 整数和除法128

6.2 整数128

6.3 素数130

6.4 最大公约数和最小公倍数133

6.4.1 最大公约数和最小公倍数的定义133

6.4.2 最大公约数和最小公倍数的求法133

6.5 同余135

6.6 剩余系136

6.6.1 完全剩余系136

6.6.2 既约剩余系、欧拉函数和欧拉定理137

6.7 欧拉函数的计算139

6.8 一次同余方程142

6.8.1 一次同余方程的概念142

6.8.2 一次同余方程的解142

6.9 剩余定理144

6.9.1 一次同余方程组144

6.9.2 剩余定理的计算机大整数加法146

6.10 原根147

6.10.1 原根的定义147

6.10.2 具有原根的正整数的分布151

6.11 指数的算术161

6.12 原根在密码学中的应用163

6.12.1 公钥密码学的背景知识163

6.12.2 模重复平方计算方法165

6.12.3 离散对数公钥加密方案167

6.12.4 离散对数公钥签名方案168

6.13 习题170

第7章 代数系统174

7.1 二元运算及其性质174

7.1.1 二元运算的定义174

7.1.2 二元运算的性质175

7.2 代数系统179

7.2.1 代数系统的定义与实例179

7.2.2 代数系统的同构与同态180

7.3 半群184

7.3.1 半群184

7.3.2 单位元和逆元186

7.4 群189

7.4.1 群的定义189

7.4.2 群的同态192

7.4.3 循环群195

7.4.4 变换群199

7.4.5 置换群201

7.4.6 子群205

7.4.7 子群的陪集209

7.4.8 不变子群和商群212

7.5 群在密码学中的应用213

7.5.1 两个特殊的群Zn和Z＊n213

7.5.2 Z＊n和欧拉定理215

7.5.3 基于Z＊n的公钥密码系统RSA216

7.6 环217

7.6.1 环的定义218

7.6.2 子环220

7.6.3 理想子环220

7.7 域222

7.7.1 域的定义222

7.7.2 子域223

7.7.3 域的特征223

7.7.4 域上的多项式环224

7.7.5 域上多项式的带余除法225

7.7.6 最高公因式和最低公倍式227

7.7.7 不可约多项式227

7.7.8 多项式的重因式229

7.7.9 多项式的根230

7.7.10 多项式环的理想与商环230

7.8 环与域在编码纠错理论中的应用236

7.8.1 通信系统的基本模型236

7.8.2 编码理论的基本知识237

7.8.3 线性分组码的编码与译码方案245

7.8.4 线性分组码的译码效率253

7.8.5 循环码的编码与译码方案254

7.8.6 循环码的译码效率263

7.9 习题266

参考文献271