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第1章 函数的极限与连续1

1.1函数1

1.1.1集合与区间1

1.1.2函数3

1.1.3初等函数9

1.2数列的极限17

1.2.1数列17

1.2.2数列极限的定义18

1.2.3关于数列极限的几个结论21

1.3函数的极限22

1.3.1自变量趋向于无穷大时函数的极限23

1.3.2自变量趋向有限值时函数的极限24

1.3.3函数极限的性质27

1.4无穷小量与无穷大量29

1.4.1无穷小量29

1.4.2无穷大量30

1.4.3无穷小量的运算性质31

1.5极限的运算法则33

1.6两个重要极限37

1.6.1夹逼定理37

1.6.2重要极限：limx→0sinx/x=138

1.6.3数列收敛准则39

1.6.4重要极限：limx→∞（1+1/x）x=e40

1.7无穷小量的比较42

1.8函数的连续性与间断点44

1.8.1函数的连续性44

1.8.2函数的间断点46

1.8.3连续函数的运算47

1.8.4初等函数的连续性48

1.9闭区间上连续函数的性质51

本章小结53

复习题155

第2章 导数与微分57

2.1导数的概念57

2.1.1两个实例57

2.1.2导数的定义59

2.1.3求导数举例60

2.1.4导数的几何意义61

2.1.5函数的可导性与连续性的关系62

2.2函数的求导法则64

2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则64

2.2.2反函数的导数66

2.2.3复合函数的导数67

2.2.4初等函数的导数69

2.3高阶导数72

2.4隐函数及参数方程所确定的函数的导数74

2.4.1隐函数的导数74

2.4.2参数方程确定的函数的导数77

2.4.3相关变化率78

2.5函数的微分及其应用80

2.5.1微分的概念80

2.5.2微分的几何意义82

2.5.3微分的运算82

2.5.4微分在近似计算中的应用84

本章小结88

复习题290

第3章 中值定理与导数的应用93

3.1中值定理93

3.1.1罗尔定理93

3.1.2拉格朗日中值定理95

3.1.3柯西中值定理97

3.2洛必达法则99

3.3函数的单调性与函数的极值104

3.3.1函数的单调性104

3.3.2函数的极值106

3.3.3最大值和最小值问题109

3.4曲线的凹凸、拐点及函数作图112

3.4.1曲线的凹凸及其判定方法112

3.4.2函数作图114

3.5泰勒公式116

3.5.1泰勒公式116

3.5.2几个常见函数的麦克劳林公式119

3.6弧微分及曲率122

3.6.1弧微分122

3.6.2曲率及其计算公式123

3.6.3曲率圆126

3.7方程的近似解126

3.7.1二分法127

3.7.2切线法128

本章小结130

复习题3131

第4章 不定积分134

4.1不定积分的概念与性质134

4.1.1不定积分的概念134

4.1.2不定积分的性质136

4.1.3基本积分表137

4.2换元积分法139

4.2.1第一类换元法139

4.2.2第二类换元法144

4.3分部积分法149

4.4两类函数的积分154

4.4.1有理函数的积分154

4.4.2三角函数有理式的积分158

4.5积分表的使用160

本章小结162

复习题4165

第5章 定积分及其应用167

5.1定积分的概念167

5.1.1两个实际问题167

5.1.2定积分的概念169

5.2定积分的性质172

5.3微积分基本公式175

5.3.1变上限的定积分175

5.3.2微积分基本公式177

5.4定积分的换元积分法和分部积分法180

5.4.1定积分的换元积分法180

5.4.2定积分的分部积分法183

5.5定积分的近似计算186

5.5.1矩形法187

5.5.2梯形法187

5.5.3抛物线法187

5.6广义积分189

5.6.1无穷限的广义积分189

5.6.2无界函数的广义积分190

5.7定积分的应用192

5.7.1定积分的元素法192

5.7.2几何应用193

5.7.3定积分的物理应用199

本章小结204

复习题5208

第6章 向量代数与空间解析几何211

6.1空间直角坐标系211

6.1.1空间直角坐标系211

6.1.2两点间的距离公式212

6.2向量的概念213

6.2.1向量的概念213

6.2.2向量的加减法214

6.3向量的坐标表达式216

6.3.1向量的坐标216

6.3.2向量的模与方向余弦217

6.4数量积与向量积219

6.4.1两向量的数量积219

6.4.2两向量的向量积220

6.5空间曲面与曲线的方程223

6.5.1曲面方程223

6.5.2空间曲线方程227

6.6空间平面的方程230

6.6.1平面的点法式方程230

6.6.2平面的一般方程231

6.7空间直线的方程234

6.7.1空间直线的一般式方程234

6.7.2空间直线的标准式方程234

6.7.3直线的参数方程235

6.8.常见的二次曲面的图形236

6.8.1椭球面237

6.8.2双曲面237

6.8.3抛物面238

6.8.4二次锥面239

本章小结240

复习题6242

第7章 多元函数微分法及其应用244

7.1多元函数的基本概念244

7.1.1区域244

7.1.2多元函数的概念246

7.1.3二元函数的极限248

7.1.4二元函数的连续性249

7.2偏导数250

7.2.1偏导数的定义及计算方法250

7.2.2高阶偏导数253

7.3全微分及其应用255

7.3.1全微分的概念255

7.3.2全微分在近似计算中的应用258

7.4多元函数的微分法259

7.4.1多元复合函数的求导法则259

7.4.2隐函数的求导公式262

7.5偏导数的几何应用266

7.5.1空间曲线的切线及法平面266

7.5.2曲面的切平面与法线268

7.6方向导数与梯度269

7.6.1方向导数269

7.6.2梯度271

7.7多元函数的极值272

7.7.1多元函数的极值及最大值、最小值272

7.7.2条件极值275

本章小结277

复习题7280

第8章 重积分282

8.1二重积分的概念与性质282

8.1.1二重积分的概念282

8.1.2二重积分的性质284

8.2二重积分的计算方法286

8.2.1二重积分在直角坐标系中的计算方法286

8.2.2二重积分在极坐标系中的计算方法290

8.3二重积分应用举例295

8.3.1几何应用举例295

8.3.2物理应用举例298

8.4三重积分的概念及计算方法302

8.4.1三重积分的概念302

8.4.2在直角坐标系中计算三重积分303

8.4.3在柱面坐标系中计算三重积分306

8.4.4在球面坐标系中计算三重积分308

本章小结311

复习题8314

第9章 曲线积分与曲面积分316

9.1对弧长的曲线积分316

9.1.1对弧长曲线积分的概念与性质316

9.1.2对弧长的曲线积分的计算法317

9.2对坐标的曲线积分320

9.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质320

9.2.2对坐标的曲线积分的计算法321

9.2.3两类曲线积分之间的联系323

9.3格林公式325

9.3.1格林公式325

9.3.2曲线积分与路径无关的条件327

9.4曲面积分331

9.4.1对面积的曲面积分331

9.4.2对坐标的曲面积分334

9.4.3两类曲面积分之间的联系338

9.4.4高斯公式339

本章小结342

复习题9345

第10章 级数348

10.1数项级数348

10.1.1无穷级数的敛散性348

10.1.2无穷级数的性质350

10.1.3级数收敛的必要条件351

10.2常数项级数审敛法352

10.2.1正项级数的审敛法353

10.2.2交错级数的审敛法358

10.2.3绝对收敛与条件收敛359

10.3幂级数363

10.3.1幂级数的概念363

10.3.2幂级数的收敛性364

10.3.3幂级数的运算367

10.4函数展开成泰勒级数369

10.4.1泰勒级数369

10.4.2把函数展成幂级数371

10.4.3函数的幂级数展开式的应用举例374

10.4.4欧拉公式375

10.5傅里叶级数376

10.5.1以2π为周期的函数的傅里叶级数377

10.5.2定义在［—π，π］或［0，π］上的函数的傅里叶级数383

10.5.3以2l为周期的函数的傅里叶级数385

本章小结389

复习题10392

第11章 微分方程394

11.1微分方程的基本概念394

11.1.1微分方程394

11.1.2微分方程的阶395

11.1.3微分方程的解396

11.2可分离变量的微分方程397

11.3一阶线性微分方程402

11.3.1一阶齐次线性方程通解的求法403

11.3.2一阶非齐次线性方程通解的求法403

11.4可降阶的二阶微分方程407

11.4.1y″=f（x）型的微分方程408

11.4.2y″=f（x，y′）型的微分方程408

11.4.3y″=f（y，y′）型的微分方程409

11.5二阶常系数齐次线性微分方程411

11.5.1二阶常系数齐次线性微分方程解的性质412

11.5.2二阶常系数齐次线性微分方程的解法412

11.6二阶常系数非齐次线性微分方程416

11.6.1二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质416

11.6.2二阶常系数非齐次线性微分方程的解法417

本章小结422

复习题11424

附录A几种常用平面曲线及其方程426

附录B积分表428

附录C场论初步437

习题参考答案448