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预备知识1

第一节 集合1

一、集合的定义1

二、集合的运算1

三、区间与邻域2

四、问题与例题3

第二节 映射4

一、映射的定义及其运算4

二、关系5

三、问题与例题5

第三节 一元函数6

一、概念6

二、函数的初等性质7

三、函数的运算7

四、初等函数8

五、问题与例题8

第一章 极限与连续14

第一节 数列的极限14

一、数列极限的定义14

二、重要极限14

三、极限的性质14

四、问题与例题15

第二节 函数极限17

一、函数极限的概念17

二、重要极限18

三、极限的性质18

四、极限的运算法则19

五、问题与例题19

第三节 两个准则与两个重要极限23

一、数列极限中的两个重要准则23

二、两个重要极限23

三、问题与例题25

第四节 无穷小量与无穷大量28

一、无穷小量与无穷大量的定义28

二、无穷小量与无穷大量的性质29

三、无穷小量与无穷大量的比较29

四、等价无穷小公式30

五、问题与例题30

第五节 函数的连续性32

一、连续性定义32

二、连续函数的运算性质33

三、闭区间上连续函数34

四、问题与例题34

第六节 综合问题38

一、渐近线38

二、数列极限的问题39

三、关于函数极限问题44

四、关于连续的问题45

第二章 一元函数微分学48

第一节 导数的概念48

一、导数的定义和意义48

二、可导与连续的关系48

三、定义用处的问题与例题49

第二节 导数的计算53

一、函数的求导问题53

二、求导的例题54

三、导数的应用56

第三节 高阶导数59

一、定义59

二、低阶导数的计算——一阶一阶求59

三、n阶导数y（n）的计算61

四、求y（n）（x0）的方法62

第四节 微分64

一、微分的定义64

二、微分公式与法则64

三、微分的意义64

四、微分的计算与应用问题65

第五节 微分中值定理67

一、中值定理的基本内容67

二、中值定理的推广形式68

三、中值定理的作用与问题68

第六节 泰勒公式76

一、泰勒公式76

二、泰勒公式的用处与例题77

第七节 洛必大法则81

一、洛必大法则81

二、用洛必大法则求极限的例子82

三、从洛必大法则导出的几个重要极限83

四、用洛必大法则的其它问题84

第八节 函数性质的讨论85

一、函数的单调性问题85

二、曲线的凹凸与拐点问题91

三、关于函数极值的应用问题和其它相关例题94

四、曲线的曲率97

第三章 一元函数的积分学99

第一节 原函数与不定积分99

一、原函数与不定积分的概念99

二、与不定积分有关的例题99

第二节 不定积分的计算100

一、不定积分的计算公式100

二、积分方法102

三、有理函数的不定积分110

第三节 定积分的概念114

一、定义114

二、定积分的性质115

三、微积分基本定理116

四、问题与例题116

第四节 定积分的计算122

一、定积分的依据122

二、定积分中的特殊问题125

三、关于积分中值定理133

第五节 定积分的应用134

一、元素法134

二、几何应用135

三、定积分的物理应用142

四、定积分的平均值意义144

第六节 反常积分（广义积分）146

一、无穷限的反常积分146

二、无界函数的反常积分148

第四章 微分方程150

第一节 微分方程的基本概念150

一、基本概念150

二、关于微分方程概念的问题150

第二节 一阶微分方程152

一、可分离变量的微分方程152

二、齐次方程153

三、线性微分方程157

四、一阶微分方程的一般解法——凑全微分方法159

第三节 可降阶的二阶微分方程161

一、y″＝f（x）型的微分方程161

二、F（x，y′，y″）＝0型的微分方程161

三、F（y，y′，y″）＝0型的微分方程162

四、可降阶微分方程的参数方程解法164

第四节 高阶线性微分方程164

一、高阶线性微分方程的概念164

二、常系数线性微分方程的求解166

三、欧拉方程170

第五节 微分方程应用问题171

一、几何问题171

二、力学问题173

三、溶度问题174

第五章 向量代数与空间解析几何176

第一节 向量代数176

一、点，向量，坐标176

二、向量的运算177

三、有关向量代数的问题179

第二节 平面与直线183

一、平面的决定方法和平面方程183

二、有关平面的问题184

三、直线的决定方法和直线方程185

四、与直线有关的问题186

五、平面，直线的例题与问题187

第三节 曲面与曲线192

一、曲面方程的建立192

二、二次曲面的分类196

三、曲线方程197

四、曲面束——曲线在坐标面上的投影198

第六章 多元函数微分学200

第一节 多元函数的基本概念200

第二节 多元函数的极限与连续性202

一、多元函数的极限202

二、多元函数的连续性203

三、多元函数的极限的计算203

第三节 多元函数的偏导数205

一、多元函数偏导数的讨论205

二、偏导数的计算207

第四节 全微分214

一、全微分的定义214

二、全微分的计算215

三、可微性的讨论216

四、全微分的应用218

第五节 方向导数与梯度219

一、方向导数的定义219

二、梯度220

三、有势场与梯度场220

第六节 多元函数微分学的应用222

一、空间曲线的切线与法平面222

二、曲面的切平面与法线224

三、多元函数的极值232

第七章 重积分241

第一节 重积分的定义与性质241

一、重积分的定义241

二、重积分的性质242

第二节 二重积分的计算246

一、利用直角坐标246

二、利用极坐标249

三、二重积分的坐标变换250

四、关于二次积分问题253

五、利用二重积分解决定积分问题257

第三节 三重积分的计算260

一、直角坐标与柱面坐标260

二、球面坐标262

三、三重积分的变换代换265

四、关于三重累次积分268

第四节 重积分的应用271

一、曲面面积的计算271

二、平面区域与立体区域物理量的计算275

第八章 曲线积分与曲面积分284

第一节 对弧长与面积的曲线积分与曲面积分（第一类曲线积分与曲面积分）284

一、第一类曲线积分的定义284

二、第一类曲面积分的定义285

三、第一类曲线积分的计算286

四、第一类曲面积分的计算290

第二节 向量值函数对坐标元的曲线积分与曲面积分（第二类曲线积分与曲面积分）293

一、向量值函数对坐标元的曲线积分（第二类曲线积分）的背景、定义293

二、第二类曲线积分的计算294

三、Green公式及其应用299

四、第二类曲面积分的背景与定义309

五、第二类曲面积分的计算310

六、高斯公式313

七、场论初步319

第九章 无穷级数327

第一节 数项级数327

一、无穷级数的性质327

二、正项级数判别法331

三、一般级数的绝对收敛与条件收敛337

第二节 幂级数341

一、幂级数的收敛域342

二、幂级数的运算与性质344

三、函数的泰勒级数349

第三节 傅里叶级数357

一、内积与三角正交系357

二、傅里叶级数360

三、傅里叶系的性质，正弦级数与余弦级数365

四、一般周期函数的傅里叶级数369

五、傅里叶级数的应用374