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第一章 线性泛函分析基础1

1.1 拓扑空间1

1.1.1 拓扑空间的概念1

1.1.2 网4

1.1.3 连续映射5

1.1.4 距离空间6

1.1.5 距离空间的完备性7

1.2 拓扑线性空间8

1.2.1 拓扑线性空间的概念8

1.2.2 赋准范线性空间12

1.2.3 赋范线性空间13

1.2.4 内积空间15

1.2.5 一致凸空间和严格凸空间17

1.3 紧性19

1.3.1 紧集的概念19

1.3.2 紧集上的连续映射20

1.3.3 Zorn引理21

1.3.4 紧空间的乘积空间21

1.3.5 Stone-Weierstrass定理22

1.3.6 距离空间中的列紧集与完全有界集24

1.3.7 有限维赋范线性空间的特征27

1.3.8 Banach-Alaoglu定理28

1.3.9 Hilbert空间单位球的弱紧性30

1.4 Hahn-Banach定理及其几何形式31

1.4.1 线性空间上线性泛函的延拓32

1.4.2 赋范线性空间上连续线性泛函的延拓33

1.4.3 自反空间34

1.4.4 连续线性泛函保范延拓的唯一性35

1.4.5 凸集的分离性37

1.4.6 端点、Krein-Milman定理39

1.5 线性算子基本定理40

1.5.1 开映射定理41

1.5.2 逆算子定理和范数等价定理43

1.5.3 闭图像定理43

1.5.4 共鸣定理44

1.5.5 应用44

1.5.6 Schauder基47

1.5.7 点列的收敛性49

1.5.8 泛函序列和算子序列的收敛性51

习题53

第二章 谱论Ⅰ：Banach空间上的紧算子及Fredholm算子56

2.1 Banach代数中元素的谱56

2.1.1 代数和理想56

2.1.2 赋范代数57

2.1.3 Banach代数中元素的谱59

2.2 线性算子的谱64

2.2.1 线性算子谱的概念64

2.2.2 线性算子谱的分类65

2.2.3 近似谱点68

2.2.4 共轭算子及共轭算子的谱70

2.3 紧算子72

2.3.1 有限秩算子72

2.3.2 紧算子的概念73

2.3.3 紧算子的Riesz-Schauder理论77

2.3.4 Banach空间的直和分解79

2.3.5 紧算子的Riesz-Schauder理论（续）81

2.4 Fredholm算子82

2.4.1 Fredholm算子的概念82

2.4.2 Fredholm算子的性质84

习题87

第三章 谱论Ⅱ：Hilbert空间上的正规算子90

3.1 Banach代数的Gelfand表示90

3.1.1 可乘线性泛函90

3.1.2 Gelfand表示92

3.1.3 极大理想空间93

3.2 C＊代数95

3.2.1 C＊代数的概念96

3.2.2 C＊代数中的正规元97

3.2.3 Gelfand-Naimark定理98

3.2.4 GNS构造99

3.3 谱测度和谱积分101

3.3.1 投影算子102

3.3.2 谱测度与谱积分103

3.3.3 谱系108

3.4 Hilbert空间上正规算子的谱分解108

3.4.1 谱定理与函数演算109

3.4.2 函数演算的扩充110

3.4.3 正规算子的谱分解定理111

3.4.4 正规算子的谱113

3.4.5 Hilbert空间上紧算子的结构115

3.4.6 正规算子的本质谱116

3.4.7 von Neumann代数117

习题118

第四章 无界算子121

4.1 对称算子和自伴算子121

4.1.1 稠定算子的共轭算子121

4.1.2 对称算子与自伴算子的概念122

4.1.3 算子的图像124

4.1.4 对称算子为自伴算子的条件125

4.1.5 自伴算子的谱127

4.1.6 Cayley变换128

4.1.7 无界函数的谱积分131

4.1.8 自伴算子的谱分解定理134

4.1.9 L2（－∞，＋∞）上的乘法算子136

4.2 对称算子的自伴扩张138

4.2.1 闭对称算子的亏指数138

4.2.2 正定双线性泛函140

4.2.3 半有界算子的Friedrichs扩张定理143

4.3 白伴算子的扰动144

4.3.1 可闭算子的扰动145

4.3.2 自伴算子的扰动149

4.3.3 自伴算子在扰动下的谱152

4.4 无界算子序列的收敛性154

4.4.1 预解意义下的收敛性154

4.4.2 图意义下的收敛性162

习题164

第五章 算子半群167

5.1 向量值函数167

5.1.1 向量值函数的连续性167

5.1.2 向量值函数的可导性168

5.1.3 向量值函数的Riemann积分170

5.1.4 向量值函数的可测性171

5.1.5 强可测与弱可测的关系171

5.1.6 算子值可测函数174

5.2 Bochner积分和Pettis积分175

5.2.1 Pettis积分175

5.2.2 Bochner积分178

5.2.3 Bochner积分的性质182

5.3 算子半群的概念185

5.3.1 算子半群概念的由来185

5.3.2 C0类算子半群187

5.3.3 算子半群的一些例子188

5.4 C0类算子半群的表示190

5.4.1 C0类算子半群无穷小母元的概念190

5.4.2 无穷小母元的预解式192

5.4.3 C0类算子半群的表示195

5.5 无穷小母元的特征199

5.5.1 C0类算子半群无穷小母元的特征199

5.5.2 标准型C0类算子半群母元的特征202

5.5.3 C0类压缩半群母元的特征203

5.5.4 Hilbert空间上C0类压缩半群母元的特征203

5.6 单参数酉算子群、Stone定理204

5.6.1 单参数算子群的无穷小母元205

5.6.2 Stone定理206

5.6.3 Stone定理的应用：Bochner定理209

5.7 遍历定理212

5.7.1 相空间上的保测变换212

5.7.2 Boltzmann遍历假设215

5.7.3 不可压缩稳定流215

5.7.4 遍历定理217

5.7.5 变换群的遍历性219

习题221

第六章 无穷维空间的微分学224

6.1 映射的微分224

6.1.1 G？teaux微分224

6.1.2 Frèchet微分227

6.1.3 高阶导数233

6.1.4 Taylor公式236

6.1.5 幂级数238

6.2 隐函数定理240

6.2.1 Cp映射与微分同胚241

6.2.2 隐函数的存在性241

6.2.3 隐函数的可微性243

6.3 泛函极值246

6.3.1 线性方程的解与二次泛函的极小问题246

6.3.2 泛函极值的必要条件249

6.3.3 泛函极值的存在性：下半弱连续条件249

6.3.4 最速下降法253

6.3.5 泛函极值的存在性：Palais-Smale条件256

习题259

第七章 拓扑度261

7.1 Brouwer度261

7.1.1 C1类映射的拓扑度（非临界点情形）261

7.1.2 3个引理265

7.1.3 C1类映射的拓扑度（一般情形）268

7.1.4 Brouwer度271

7.1.5 Brouwer度的性质272

7.2 Leray-Schauder度278

7.2.1 一个例子279

7.2.2 全连续映射280

7.2.3 Leray-Schauder度的定义282

7.2.4 Leray-Schauder度的性质284

7.3 不动点定理及其应用288

7.3.1 Brouwer不动点定理289

7.3.2 Schauder不动点定理289

7.3.3 非紧性测度293

7.3.4 集压缩映射的不动点296

7.3.5 Kakutani不动点定理297

7.3.6 应用：代数学基本定理298

7.3.7 应用：不变子空间299

7.3.8 应用：对策论基本定理300

习题302

参考文献304