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第1章 向量的运算·平面与直线1

1.1 数域1

1.2 几何向量及其线性运算3

1.2.1 向量的概念3

1.2.2 向量的加法4

1.2.3 数与向量的乘法6

1.3 空间坐标系8

1.3.1 向量和点的仿射坐标·直角坐标8

1.3.2 用坐标进行向量的线性运算12

1.3.3 推广14

1.4.1 二阶与三阶行列式17

1.4 向量的数量积·向量积和混合积17

1.4.2 两向量的数量积19

1.4.3 两向量的向量积27

1.4.4 三个向量的混合积30

1.5 直角坐标系下平面的方程32

1.5.1 平面及其方程32

1.5.2 两平面的相关位置35

1.5.3 两平面的夹角36

1.5.4 点到平面的距离37

1.6 空间直线及其方程38

1.6.1 直线的方程38

1.6.3 直线与平面的相关位置41

1.6.2 两直线的相关位置41

1.6.4 两直线的夹角·直线和平面的夹角43

1.6.5 点到直线的距离·两条直线之间的距离44

1.7 小结45

习题47

第2章 方阵的行列式·线性方程组53

2.1 矩阵及其初等变换53

2.1.1 矩阵的概念53

2.1.2 矩阵的初等变换57

2.2 方阵的行列式58

2.2.1 n元排列59

2.2.2 n阶行列式的定义61

2.3 行列式的性质65

2.4 行列式按行(列)展开71

2.4.1 行列式按一行(列)展开71

2.4.2 拉普拉斯(Laplace)展开定理79

2.5 m×n线性方程组83

2.5.1 矩阵消元法83

2.5.2 m×n方程组解的情况90

2.6 n×n线性方程组98

2.6.1 用行列式判断n×n方程组解的情况99

2.6.2 克拉默(Cramer)法则101

2.7 小结103

习题105

第3章 矩阵及其运算112

3.1 矩阵的运算112

3.1.1 矩阵的加法112

3.1.2 矩阵的数量乘法114

3.1.3 矩阵的乘法115

3.1.4 方阵的幂·矩阵的多项式121

3.1.5 矩阵的转置与矩阵运算的关系125

3.1.6 矩阵乘法的技巧126

3.2 几类常用的特殊矩阵·方阵的迹130

3.2.1 初等矩阵131

3.2.2 上(下)三角矩阵133

3.2.3 对称矩阵与反对称矩阵134

3.2.4 方阵的迹135

3.3 矩阵乘积的行列式·可逆矩阵136

3.3.1 矩阵乘积的行列式136

3.3.2 可逆矩阵137

3.3.3 求逆矩阵的方法143

3.3.4 矩阵方程147

3.4 矩阵的分块151

3.4.1 矩阵的分块运算152

3.4.2 分块矩阵的初等变换160

3.5.1 矩阵的秩165

3.5 矩阵的秩·矩阵的相抵165

3.5.2 矩阵秩的计算167

3.5.3 矩阵的相抵(或等价)169

3.5.4 矩阵经运算后秩的变化172

3.6 小结174

习题177

第4章 线性空间184

4.1 线性空间184

4.1.1 线性空间概念的形成184

4.1.2 线性空间的基本性质187

4.2 子空间·线性组合188

4.3.1 线性相关与线性无关193

4.3 向量的线性相关性193

4.3.2 Pn中的向量的线性相关性199

4.4 向量组的秩204

4.4.1 向量组的等价204

4.4.2 极大无关组207

4.4.3 向量组的秩与矩阵秩的关系209

4.5 维数与基·坐标213

4.5.1 维数与基213

4.5.2 坐标215

4.5.3 基变换与坐标变换219

4.6.1 映射224

4.6 线性空间的同构224

4.6.2 线性空间的同构226

4.7 线性方程组(续)230

4.7.1 线性方程组有解判别定理230

4.7.2 线性方程组解的结构233

4.8 小结242

习题245

第5章 线性变换256

5.1 线性变换的定义与运算256

5.1.1 定义·例子·基本性质256

5.1.2 线性变换的运算261

5.2 线性变换的矩阵263

5.2.1 线性变换在一组基下的矩阵264

5.2.2 L(V)与Pn×n的同构269

5.2.3 线性变换在不同基下的矩阵272

5.2.4 矩阵的相似275

5.3 特征值与特征向量278

5.3.1 特征值与特征向量的概念和计算279

5.3.2 特征值和特征向量的性质288

5.4 具有对角矩阵的线性变换295

5.4.1 线性变换可对角化的条件295

5.4.2 化方阵为三角矩阵301

5.5 线性变换的一些应用305

5.6 小结309

习题311

第6章 欧几里得(Eucild)空间317

6.1 内积·欧氏空间317

6.1.1 内积317

6.1.2 向量的长度和向量的夹角320

6.1.3 n维欧氏空间的度量矩阵322

6.2 标准正交基·欧氏空间的同构324

6.2.1 标准正交基·正交矩阵324

6.2.2 欧氏空间的同构333

6.3 正交变换334

6.4 对称变换与实对称矩阵338

6.4.1 对称变换338

6.4.2 实对称矩阵的对角化339

6.5 小结346

习题348

第7章 常见曲面352

7.1 曲面及其方程352

7.1.1 曲面和曲线的普通方程352

7.1.2 柱面354

7.1.3 锥面355

7.1.4 旋转面357

7.2.1 椭球面359

7.2 二次曲面359

7.2.2 抛物面361

7.2.3 双曲面362

7.3 空间曲线的方程·曲面所围成的区域364

7.3.1 空间曲线的方程364

7.3.2 曲线在坐标面上的投影366

7.3.3 曲面所围成区域的画法367

7.4 几何空间的坐标变换369

7.4.1 仿射坐标变换369

7.4.2 直角坐标变换371

7.5 小结374

习题376

第8章 二次型378

8.1 引言378

8.2 二次型及其标准形·矩阵的合同382

8.2.1 二次型及其矩阵表示382

8.2.2 满秩线性替换·矩阵的合同384

8.3 化二次型为标准形386

8.3.1 用正交替换化实二次型为标准形386

8.3.2 用满秩线性替换化二次型为标准形394

8.4 二次型的规范形·惯性定理397

8.5.1 正定二次型401

8.5 正定二次型与正定矩阵401

8.5.2 正定矩阵403

8.5.3 其他类型的实二次型407

8.5.4 一个应用408

8.6 小结409

习题411

第9章 抽象代数基本概念介绍415

9.1 群的定义和例子415

9.1.1 代数系统415

9.1.2 群的概念和例子416

9.2.1 群的简单性质420

9.2 群的简单性质·子群420

9.2.2 子群421

9.2.3 群元素的阶423

9.3 同构424

9.4 环与域426

9.4.1 环426

9.4.2 域429

9.5 子环·子域·同构430

9.6 小结431

习题433

习题答案与提示435

附录 双重连加号∑∑·连乘号Ⅱ450

参考书目453