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第1章 误差分析与数值计算1

1.1 引言1

1.1.1 误差的来源1

1.1.2 误差理论在数值计算中的作用2

1.2 绝对误差与相对误差、有效数字5

1.2.1 绝对误差与相对误差5

1.2.2 有效数字6

1.3 近似数的简单算术运算7

1.3.1 近似数的加法7

1.3.2 近似数的乘法8

1.3.3 近似数的除法8

1.3.4 近似数的幂和根9

1.3.5 近似数的对数9

1.3.6 近似数的减法9

1.4 数值计算中误差分析的若干原则10

习题111

第2章 非线性方程（组）的近似解法12

2.1 引言12

2.2 根的隔离12

2.2.1 根的隔离12

2.2.2 代数方程实根的上下界13

2.2.3 代数方程实根的个数15

2.3 对分法17

2.4 迭代法18

2.4.1 迭代法18

2.4.2 收敛定理19

2.4.3 迭代法收敛速度22

2.4.4 加速收敛技术23

2.5 牛顿迭代法25

2.5.1 牛顿迭代公式25

2.5.2 牛顿迭代法的收敛性26

2.5.3 牛顿法中初始值的选取27

2.6 弦截法28

2.7 用牛顿法解方程组30

习题232

第3章 线性方程组的解法34

3.1 引言34

3.2 高斯消去法35

3.2.1 顺序高斯消去法35

3.2.2 主元消去法38

3.3 矩阵的LU分解42

3.3.1 矩阵的LU分解42

3.3.2 矩阵A的LU分解求法45

3.4 对称矩阵的LDLT分解47

3.4.1 对称矩阵的矩阵分解形式47

3.4.2 对称矩阵LDLT分解的计算公式48

3.4.3 对称带形矩阵LDLT分解的带宽性质51

3.4.4 解对称正定线性方程组的矩阵分解法52

3.5 线性方程组解的可靠性54

3.5.1 误差向量和向量范数54

3.5.2 残向量57

3.5.3 误差的代数表征58

3.5.4 病态线性方程组59

3.5.5 关于病态方程组的求解问题60

3.6 简单迭代法61

3.6.1 迭代法简介61

3.6.2 迭代过程的收敛性62

3.7 雅可比迭代法与高斯—塞得尔迭代法65

3.7.1 雅可比迭代法65

3.7.2 高斯—塞得尔迭代法66

3.7.3 雅可比迭代法和高斯—塞得尔迭代法的收敛性66

3.8 解线性方程组的超松弛法70

习题373

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算76

4.1 引言76

4.2 幂法与反幂法76

4.2.1 幂法76

4.2.2 反幂法79

4.3 雅可比方法82

4.3.1 预备知识82

4.3.2 雅可比方法82

习题488

第5章 插值与拟合90

5.1 引言90

5.2 插值多项式的存在性和唯一性、线性插值与抛物插值90

5.2.1 代数插值问题90

5.2.2 插值多项式的存在性和唯一性91

5.2.3 线性插值与抛物插值92

5.3 拉格朗日插值多项式95

5.3.1 插值基函数95

5.3.2 拉格朗日插值公式96

5.3.3 插值余项与误差估计96

5.4 均差插值公式100

5.4.1 均差的定义、均差表及性质100

5.4.2 均差插值公式102

5.5 差分、等距节点插值多项式106

5.5.1 差分的定义、性质及差分表106

5.5.2 等距节点插值公式108

5.6 厄米特插值110

5.6.1 构造基函数的方法110

5.6.2 构造均差表的方法113

5.7 分段低次插值114

5.7.1 龙格现象114

5.7.2 分段线性插值115

5.7.3 分段三次厄米特插值116

5.8 三次样条函数118

5.8.1 三次样条函数的定义118

5.8.2 用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数119

5.8.3 用节点处的一阶导数表示的三次样条插值函数122

5.8.4 三次样条插值函数的误差估计124

5.8.5 追赶法125

5.9 曲线拟合的最小二乘法127

5.9.1 问题的提出127

5.9.2 最小二乘法表述128

5.9.3 最小平方逼近多项式的存在唯一性128

5.9.4 观察数据的修匀132

习题5133

第6章 数值积分和数值微分136

6.1 引言136

6.2 牛顿—柯特斯型数值积分公式138

6.2.1 牛顿—柯特斯求积公式的导出138

6.2.2 插值型求积公式的代数精度141

6.2.3 梯形公式和辛普生公式的余项141

6.3 复合求积公式144

6.3.1 牛顿—柯特斯公式的收敛性和数值稳定性144

6.3.2 复合梯形公式与复合辛普生公式145

6.3.3 步长的自动选择148

6.4 龙贝格求积公式149

6.4.1 复合梯形公式的递推公式149

6.4.2 龙贝格求积算法151

6.4.3 计算步骤及数值例子152

6.5 高斯求积公式154

6.5.1 高斯积分问题的提出154

6.5.2 高斯求积公式155

6.5.3 勒让德多项式的性质156

6.5.4 高斯—勒让德求积公式157

6.5.5 高斯—勒让德求积公式的余项162

6.6 二重积分的数值积分法163

6.6.1 矩形域上的二重积分164

6.6.2 一般区域上的二重积分166

6.7 数值微分166

6.7.1 均差公式167

6.7.2 插值型求导公式168

6.7.3 三次样条求导170

习题6171

第7章 常微分方程的数值解法173

7.1 引言173

7.2 欧拉折线法与改进的欧拉法173

7.2.1 欧拉（Euler）折线法173

7.2.2 初值问题的等价问题与改进的欧拉法175

7.2.3 公式的截断误差177

7.2.4 预报—校正公式178

7.3 龙格—库塔方法179

7.3.1 泰勒级数法179

7.3.2 龙格—库塔方法的基本思想180

7.3.3 龙格—库塔公式的推导181

7.3.4 步长的自动选择187

7.4 线性多步法188

7.4.1 线性多步方法188

7.4.2 阿达姆斯外推法188

7.4.3 阿达姆斯内插法190

7.4.4 隐式格式迭代、预报—校正公式192

7.4.5 阿达姆斯预报—校正法的改进194

7.4.6 利用泰勒展开方法构造线性多步公式195

7.5 算法的稳定性与收敛性198

7.5.1 稳定性198

7.5.2 收敛性200

7.6 微分方程组和高阶微分方程的解法202

7.6.1 一阶方程组202

7.6.2 高阶微分方程的初值问题204

习题7207

第8章 偏微分方程数值解法209

8.1 引言209

8.2 常微分方程边值问题的差分方法209

8.2.1 差分方程的建立209

8.2.2 差分方程解的存在唯一性、对边值问题解的收敛性、误差估计210

8.2.3 差分方程组的解法213

8.2.4 关于一般二阶常微分方程第3边值问题214

8.3 化二阶椭圆型方程边值问题为差分方程215

8.3.1 微分方程的差分逼近216

8.3.2 边值条件的近似处理218

8.4 椭圆差分方程组的迭代解法222

8.4.1 差分方程的迭代解法222

8.4.2 迭代法的收敛性224

8.5 抛物型方程的显式差分格式及其收敛性226

8.5.1 显式差分格式的建立226

8.5.2 差分格式Ⅰ的收敛性227

8.6 抛物型方程显式差分格式的稳定性229

8.6.1 差分格式的稳定性问题229

8.6.2 ε-图方法231

8.6.3 稳定性的定义及显式差分格式的稳定性233

8.7 抛物型方程的隐式差分格式233

8.7.1 简单隐式格式233

8.7.2 六点差分格式234

8.8 双曲型方程的差分解法236

8.8.1 微分方程的差分逼近236

8.8.2 初始条件和边值条件的差分近似236

8.8.3 差分解的收敛性和差分格式的稳定性237

习题8238

习题答案240