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第1章 量子态的描述1

1.1 量子力学基本原理的回顾1

1.1.1 波动-粒子两象性，波函数的统计诠释1

1.1.2 力学量用算符描述，本征值与本征态，Heisenberg不确定度关系4

1.1.3 量子态叠加原理，表象与表象变换7

1.1.4 量子态随时间的演化，Schr？dinger方程，定态12

1.1.5 对Bohr互补性原理的理解15

1.2 密度矩阵16

1.2.1 密度算符与密度矩阵17

1.2.2 混合态的密度矩阵24

1.2.3 复合体系的子体系，约化密度矩阵30

1.2.4 波函数统计诠释的进一步理解32

1.3 纠缠态35

1.3.1 自旋为1/2的二粒子的自旋纠缠态，Bell基35

1.3.2 光子偏振态与双光子纠缠态40

1.3.3 EPR（Einstein-Podolsky-Rosen）佯谬43

1.3.4 Bell不等式与实验检验，定域性与隐变量49

1.3.5 Schr？dinger猫态及其在介观尺度上的实现53

1.3.6 双缝干涉与“判断路径”（which way）实验55

1.3.7 纠缠态在量子信息论中的应用60

附录 量子不可克隆定理63

1.4 量子态的测量，Wigner函数65

第2章 量子力学与经典力学的关系73

2.1 对应原理73

附录80

2.2 Poisson括号与正则量子化84

附录 正则量子化程序中的问题87

2.3 Schr？dinger波动力学与经典力学的关系96

2.3.1 Schr？dinger波动方程与Jacobi-Hamilton方程的关系96

2.3.2 Schr？dinger波动方程提出的历史简述98

2.3.3 Bohm的量子势观点101

2.3.4 力学与光学的相似性103

2.4 WKB准经典近似105

2.4.1 WKB准经典近似波函数105

2.4.2 势阱中粒子的准经典束缚态，Bohr-Sommerfeld量子化条件108

2.4.3 势垒隧穿111

数学附注 WKB波函数的连接公式114

2.4.4 中心力场中粒子的准经典近似120

2.5 谐振子的相干态127

2.5.1 Schr？dinger的谐振子相干态127

2.5.2 湮没算符的本征态131

2.5.3 谐振子相干态与Schr？dinger猫态的Wigner函数134

2.5.4 相干态的一般性质137

2.5.5 谐振子的压缩相干态143

附录 一些常用的代数式146

2.6 Rydberg波包，波形的演化与恢复151

附录 二维各向同性谐振子的相干态，能量和角动量结构158

第3章 路径积分170

3.1 传播子171

3.2 路径积分的基本思想176

3.3 路径积分的计算方法180

3.4 Feynman路径积分理论与Schr？dinger波动方程等价184

3.4.1 从Feynman路径积分到Schr？dinger波动方程184

3.4.2 Feynman路径积分提出的历史简介186

3.4.3 量子理论发展历史的反思189

3.5 位形空间和相空间的路径积分192

3.5.1 位形空间中的路径积分193

3.5.2 相空间中的路径积分195

附录 规范不变性197

第4章 量子力学中的相位206

4.1 AB（Aharonov-Bohm）效应207

4.1.1 磁AB效应208

4.1.2 电AB效应209

附录 “标量AB效应”209

4.2 重力相移211

4.2.1 COW（Covella-Overhauser-Werner）实验与重力相移211

4.2.2 弱等价原理，量子力学与广义相对论的矛盾213

4.3 量子力学中的相位不定性215

4.3.1 常数相位不定性215

4.3.2 Lewis-Riesenfeld含时不变量，本征态的含时相位不定性217

4.4 Berry相221

4.4.1 Berry绝热相221

4.4.2 AA（Aharonov-Anandan）相228

4.4.3 量子态的自然联络238

4.4.4 Berry相，AA相与Lewis相的关系240

第5章 二次量子化243

5.1 全同粒子系的量子态的描述243

5.1.1 粒子数表象243

5.1.2 产生算符与湮没算符，全同Bose子体系的量子态的描述245

5.1.3 全同Fermi子体系的量子态的描述248

5.2 Bose子体系的单体和二体算符的表示式251

5.2.1 单体算符252

5.2.2 二体算符254

5.3 Fermi子体系的单体和二体算符的表示式262

5.3.1 单体算符264

5.3.2 二体算符266

5.4 坐标表象与二次量子化269

5.4.1 坐标表象269

5.4.2 无相互作用Fermi气体272

5.4.3 无相互作用无自旋粒子多体系277

5.5 Hartree-Fock自洽场，独立粒子模型279

附录287

1.正规乘积287

2.缩并288

3.Wick定理288

5.6 对关联，BCS波函数，准粒子289

第6章 角动量理论（续）304

6.1 量子体系的有限转动304

6.1.1 量子态的转动，转动算符304

6.1.2 角动量本征态的转动，D函数305

6.1.3 D函数与球谐函数的关系311

6.1.4 D函数的积分公式313

6.2 陀螺的转动315

6.2.1 陀螺的Hamilton量315

6.2.2 对称陀螺的转动谱的代数解法318

6.2.3 对称陀螺转动谱的分析解法321

6.2.4 非轴对称陀螺的转动谱325

6.3 不可约张量，Wigner-Eckart定理328

6.3.1 不可约张量算符328

6.3.2 Wigner-Eckart定理331

6.4 多个角动量的耦合337

6.4.1 3个角动量的耦合，Racah系数，6j符号337

6.4.2 4个角动量的耦合，9j符号347

6.5 张量积，矩阵元353

6.5.1 张量积353

6.5.2 张量积的矩阵元355

6.5.3 一阶张量的投影定理，矢量模型363

第7章 量子体系的对称性369

7.1 绪论369

7.1.1 对称性在经典物理学中的应用369

7.1.2 对称性在量子物理学中的深刻内涵372

7.2 守恒量与对称性376

附录 经典力学中守恒量与对称性的关系385

7.3 量子态的分类与对称性389

7.3.1 量子态按对称性群的不可约表示分类389

7.3.2 简并态的标记，子群链393

7.3.3 力学量的矩阵元394

7.4 能级简并度与对称性的关系400

7.4.1 一般讨论400

7.4.2 一维粒子能级的简并性403

7.4.3 对称性自发破缺413

7.4.4 二维势阱中粒子能级的简并性419

7.4.5 轴对称变形势423

7.5 对称性在简并微扰论中的应用427

7.5.1 一般原则427

7.5.2 对称性在原子光谱分析中的应用，LS耦合435

附录 Hund法则的定性解释440

第8章 氢原子与谐振子的动力学对称性442

8.1 中心力场中经典粒子的运动，轨道闭合性与守恒量442

8.1.1 氢原子轨道的闭合性，Runge-Lenz矢量442

8.1.2 各向同性谐振子轨道的闭合性444

8.1.3 独立守恒量的数目与轨道的闭合性447

附录1 Coulomb场中经典粒子的束缚态运动448

附录2 经典力学中的Runge-Lenz矢量451

附录3 Bertrand定理及其推广452

8.2 氢原子的动力学对称性456

8.2.1 二维氢原子的O3动力学对称性456

8.2.2 三维氢原子的O4动力学对称性460

8.2.3 n维氢原子的On+1动力学对称性463

附录1 量子力学中的Runge-Lenz矢量467

附录2 n维空间的球谐函数470

8.3 各向同性谐振子的动力学对称性474

8.3.1 各向同性谐振子的幺正对称性474

8.3.2 二维各向同性谐振子476

8.3.3 三维各向同性谐振子478

8.3.4 能级简并性与经典轨道闭合性的关系481

8.4 超对称量子力学方法，一维势阱中粒子的Schr？dinger方程的因式分解484

8.4.1 Schr？dinger因式分解法的简要回顾484

8.4.2 超对称量子力学方法486

附录 V（x）＝V0cot2（πηx）势阱的能谱492

8.4.3 形状不变性495

附录 V（x）＝-V0sech2βx势阱中粒子的束缚能级498

8.5 径向Schr？dinger方程的因式分解500

8.5.1 三维各向同性谐振子的四类升降算符501

附录507

8.5.2 二维各向同性谐振子的四类升降算符508

附录 径向方程（32）的求解512

8.5.3 三维氢原子的四类升、降算符512

附录514

8.5.4 二维氢原子的四类升、降算符516

8.5.5 径向Schr？dinger方程的可因式分解性519

8.5.6 n维氢原子和各向同性谐振子的四类升降算符523

8.5.7 一维谐振子与氢原子528

第9章 时间反演530

9.1 时间反演态与时间反演算符531

9.2 时间反演不变性537

9.2.1 经典力学中的时间反演不变性537

9.2.2 量子力学中的时间反演不变性538

9.2.3 Schr？dinger方程与时间反演不变性541

9.2.4 T2本征值与统计性的关系543

9.2.5 Kramers简并544

9.3 力学量的分类与矩阵元的计算545

第10章 散射理论（续）547

10.1 散射的形式理论547

10.1.1 相互作用表象547

10.1.2 态随时间演化的算符548

10.1.3 微扰论展开549

10.1.4 散射矩阵551

10.1.5 S矩阵的微扰论展开552

10.1.6 散射截面555

10.1.7 分波法558

附录 S矩阵元的选择定则561

10.2 Coulomb散射563

10.2.1 抛物线坐标解法564

10.2.2 球坐标解法570

附录573

10.2.3 Regge极点575

第11章 相对论量子力学578

11.1 Klein-Gordon方程581

11.2 Dirac方程587

11.2.1 Dirac方程的引进587

11.2.2 电子的速度算符，电子自旋591

11.2.3 α与β的矩阵表示593

11.2.4 中微子的二分量理论596

11.3 自由电子的平面波解599

11.4 电磁场中电子的Dirac方程与非相对论极限604

11.4.1 电磁场中电子的Dirac方程604

11.4.2 非相对论极限与电子磁矩605

11.4.3 中心力场下的非相对论极限，自旋轨道耦合607

11.5 氢原子光谱的精细结构611

11.5.1 中心力场中电子的守恒量611

11.5.2 （K，j2，jz）的共同本征态613

11.5.3 径向方程615

11.5.4 氢原子光谱的精细结构617

附录1 氢原子径向方程的求解621

附录2 γ代数625

附录3 Dirac方程的协变形式629

第12章 辐射场的量子化及其与物质的相互作用636

12.1 经典辐射场636

12.1.1 经典电动力学简要回顾636

12.1.2 经典辐射场的平面波展开640

12.2 辐射场的量子化643

12.3 多极辐射场及其量子化647

12.3.1 经典辐射场的多极展开647

12.3.2 多极辐射场的量子化653

12.4 自发多极辐射655

附录A 分析力学简要回顾664

A.1 最小作用原理与Lagrange方程664

A.2 Hamilton正则方程，Poisson括号669

A.3 正则变换，生成函数674

A.4 Jacobi-Hamilton方程681

A.5 正则方程的积分684

附录B 群与群表示理论简介690

B.1 群的基本概念692

B.1.1 群与群结构692

B.1.2 子群与陪集695

B.1.3 类，不变子群，商群697

B.1.4 同构与同态699

B.2 量子体系的对称性变换群699

B.2.1 幺正变换群699

B.2.2 置换群704

B.3 群表示的基本定理708

B.3.1 群表示的基本概念708

B.3.2 有限群的表示的两条基本定理711

B.4 特征标718

B.4.1 特征标概念718

B.4.2 几条重要定理720

B.4.3 特征标的一种计算方法，类的乘积723

B.5 群表示的直积与群的直积726

B.5.1 群表示的直积及其约化726

B.5.2 群的直积及其表示729

量子力学一般参考书733

量子力学习题参考书734

常用物理常数简表735

索引737