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第1章　行列式1

1.1　计算数字型行列式1

1.1.1　计算行（列）和相等的行列式2

1.1.2 计算形如｜？｜或｜？｜的行列式3

1.1.3 计算非零元素仅在主、次对角线上的行列式3

1.1.4　计算范德蒙行列式4

1.1.5　计算三对角线型行列式｜？｜5

1.1.6 求行列式方程的根7

1.2　计算代数余子式之和的值8

1.2.1　计算某一行（或列）的元素代数余子式的线性组合的值8

1.2.2 求行列式D中主对角线上元素的代数余子式之和10

1.3　计算矩阵行列式的值10

1.3.1 求由行（列）向量表示的矩阵行列式的值10

1.3.2　将所求行列式之值的矩阵化为因子矩阵求之11

1.3.3 求两矩阵A,B的线性组合的行列式｜aA+bB｜的值13

1.3.4　计算含零子块的四分块矩阵的行列式14

1.3.5　利用矩阵的特征值计算行列式的值15

1.3.6　利用矩阵的秩求其行列式15

1.3.7　利用相似矩阵的性质计算行列式16

1.3.8　利用矩阵运算的性质计算行列式17

习题117

第2章　矩阵19

2.1　矩阵的基本运算（不含求逆运算）19

2.1.1　矩阵的乘法运算及其性质19

2.1.2　矩阵的转置运算19

2.1.3　计算方阵的高次幂22

2.2　可逆矩阵25

2.2.1　判定n阶矩阵可逆或不可逆25

2.2.2　矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法26

2.3　求解与伴随矩阵有关的问题29

2.3.1 求与伴随矩阵有关的矩阵29

2.3.2　求与伴随矩阵有关的矩阵行列式31

2.3.3 求与伴随矩阵有关的矩阵的秩32

2.3.4 求与伴随矩阵有关的逆矩阵33

2.4　矩阵的秩33

2.4.1　求矩阵的秩33

2.4.2 已知矩阵的秩，求矩阵中的待求常数35

2.5　求解矩阵方程36

2.5.1 已知A2+aA+bE=O，求（A+kE）-1或A+kE（k为常数）36

2.5.2 求解矩阵方程AB+kAA+kBB+kE=O（其中kA,kB,k为常数）37

2.5.3 求解AX=B或XA=B，其中A为不可逆矩阵40

2.6　求解与初等变换有关的问题41

2.6.1　利用初等变换的概念及其性质求解有关问题41

2.6.2 利用初等变换与初等矩阵的关系求解有关问题43

习题245

第3章 向量49

3.1　求解与向量线性表示有关的问题49

3.1.1 讨论一向量能否由另一向量组线性表示49

3.1.2 判别用线性无关向量组线性表示的向量组的线性相关性53

3.2　判别向量组的线性相关性56

3.3　求向量组的极大线性无关组及其秩60

3.4　判别两向量组等价63

3.5　确定向量分量中的待定常数65

3.5.1 已知向量组的线性相关性，确定向量分量中的待定常数66

3.5.2 已知一向量可由向量组线性表示，求向量分量中的待定常数67

3.6　向量组的正交规范化68

3.7　向量空间70

3.7.1 求线性空间的一组基71

3.7.2　求过渡矩阵73

3.7.3 求向量在某组基下的坐标74

习题375

第4章　线性方程组78

4.1　判别线性方程组解的情况78

4.1.1　判别齐次线性方程组解的情况78

4.1.2　判定非齐次线性方程组解的情况80

4.2　基础解系的判定及基础解系和特解的简便求法84

4.2.1　基础解系的判定84

4.2.2　基础解系和特解的简便求法86

4.3　求线性方程组的通解87

4.3.1　A没有具体给出，求AX=0的通解87

4.3.2 已知AX=b的特解，求其通解89

4.4　由其解反求方程组或其参数92

4.4.1 已知线性方程组解的情况，求其参数92

4.4.2 已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵95

4.5　求解与两线性方程组的公共解有关的问题96

4.5.1 求两齐次线性方程组的非零公共解96

4.5.2　求与两非齐次线性方程组公共解有关的问题98

4.6　求解与两线性方程组同解的有关问题99

4.7　题设条件AB=O的应用103

习题4106

第5章　特征值与特征向量108

5.1　特征值和特征向量的求法108

5.1.1　元素已知的矩阵特征值的求法108

5.1.2　抽象矩阵特征性的常用求法109

5.1.3　矩阵特征向量的常用求法111

5.2　特征值、特征向量的简便求法114

5.3　特征值与特征向量性质的应用117

5.3.1　特征值的两条性质的应用117

5.3.2 特征值的重数与其线性无关特征向量个数的关系的应用118

5.4　相似矩阵120

5.4.1 判别两同阶矩阵相似120

5.4.2　判别方阵是否可相似对角化121

5.4.3　A可对角化，判别可逆矩阵P或对角矩阵∧是否使P-1AP=∧成立123

5.4.4　相似矩阵性质的应用124

5.5　实对称矩阵的特征值、特征向量性质的应用126

习题5129

第6章　二次型132

6.1　求二次型的矩阵及其秩132

6.2　求二次型的标准形、规范形133

6.2.1 求二次型的标准形133

6.2.2　求二次型的规范形134

6.2.3 已知二次型的标准形或规范形，求二次型中的参数136

6.3　正定二次型和正定矩阵138

6.3.1　二次型及其矩阵正定性的判别138

6.3.2　讨论正定矩阵的性质140

6.3.3 已知二次型或其矩阵正定，求其待定常数142

6.4　讨论两矩阵合同142

6.4.1 判别两矩阵合同143

6.4.2　讨论合同矩阵的性质145

习题6146

习题答案或提示148