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第一章　微积分的概念1

1.1　函数与极限1

1.1.1　数列极限与函数极限1

1.1.2　连续函数2

1.2　定积分5

1.2.1　计算面积5

1.2.2　定积分的定义9

1.2.3 对数函数y=ln x14

1.3.1　曲线的切线18

1.3　微商与微分18

1.3.2　速度、密度19

1.3.3　微商的定义20

1.3.4　微分24

1.3.5　微分中值定理26

1.4　微积分基本定理30

第二章　微积分的运算34

2.1 微分法34

2.1.1　微商与微分的计算34

2.1.2　高阶微商与高阶微分43

2.1.3　利用微分作近似计算47

2.2.1　不定积分的计算54

2.2　积分法54

2.2.2　定积分的计算72

2.2.3　定积分的近似计算79

第三章　微积分的一些应用85

3.1　面积、体积、弧长85

3.1.1　面积85

3.1.2　体积87

3.1.3　弧长89

3.2.1 函数图形的上升和下降93

3.2　曲线的描绘93

3.2.2　函数图形的凹与凸95

3.2.3　曲线的渐近线97

3.2.4　描绘图形的例子99

3.2.5　曲率101

3.3　Taylor（泰勒）展开与极值问题105

3.3.1　Taylor（泰勒）展开式105

3.3.2　极值问题110

3.4　物理应用举例119

4.1　一阶微分方程125

4.1.1　概念125

第四章　常微分方程125

4.1.2　分离变量128

4.1.3　线性方程135

4.2　二阶微分方程141

4.2.1 可降阶的方程141

4.2.2　二阶线性方程144

4.2.3　常系数线性方程153

4.2.4　质点振动162

4.2.5　n阶线性微分方程与常微分方程组167

5.1.1　直角坐标系179

5.1　空间直角坐标系与矢量179

第五章　矢量代数与空间解析几何179

5.1.2　矢量的加法与数乘180

5.2　矢量的乘积184

5.2.1　矢量的内积184

5.2.2　矢量的外积186

5.2.3　矢量的混合积188

5.3　平面与直线191

5.3.1　平面方程191

5.3.2　直线方程194

5.4.1　柱面197

5.4　二次曲面197

5.4.2　旋转曲面199

5.4.3　锥面200

5.4.4　椭球面201

5.4.5　双曲抛物面202

5.4.6　单叶双曲面203

5.4.7　双叶双曲面203

5.4.8　椭圆抛物面204

5.5　坐标变换205

5.5.1　坐标系的平移206

5.5.2　坐标系的旋转207

第六章 重积分与偏微商211

6.1　重积分211

6.1.1 多变量函数的极限与连续性211

6.1.2　重积分的概念213

6.1.3　重积分的计算216

6.2　偏微商225

6.2.1　偏微商与全微分225

6.2.2　隐函数的微商233

6.3 Jacobi（雅可比）行列式、面积元素与体积元素247

6.3.1 Jacobi（雅可比）行列式的性质247

6.3.2　面积元素与体积元素248

第七章　线、面积分与外微分形式263

7.1　数量场与矢量场263

7.1.1　数量场的等值面与梯度263

7.1.2　矢量场的流线266

7.2　曲线积分270

7.2.1　第一种曲线积分（关于弧长的曲线积分）270

7.2.2　第一种曲线积分的应用（旋转曲面的面积）273

7.2.3　第二种曲线积分（关于弧长元素投影的积分）274

7.2.4　第二种曲线积分的计算方法277

7.2.5　两种曲线积分的关系278

7.2.6　矢量场的环流量，矢量的曲线积分279

7.3　曲面积分283

7.3.1 第一种曲面积分（关于面积元素的曲面积分）283

7.3.2　矢量场的通量，第二种曲面积分（关于面积元素投影的积分）285

7.3.3　第二种曲面积分的计算方法287

7.4 Stokes公式292

7.4.1 Green公式292

7.4.2 Gauss公式、散度295

7.4.3 Stokes公式、旋度300

7.5.1　与途径无关的曲线积分308

7.5　全微分与线积分308

7.5.2　有势场312

7.5.3　管型场314

7.6　外微分形式317

7.6.1　外乘积、外微分形式317

7.6.2　外微分运算，Poincaré引理及其逆323

7.6.3　梯度、旋度与散度的数学意义329

7.6.4　多变量微积分的基本定理（Stokes公式）331

8.1　Taylor（泰勒）展开与极值问题335

8.1.1　多变量函数的Taylor展开335

第八章 多变量微积分的一些应用335

8.1.2　多变量函数的极值问题336

8.1.3　条件极值问题340

8.2　物理上的应用举例345

8.2.1　重心、转动惯量与引力345

8.2.2　流体动力学的完全方程组350

8.2.3　声的传播353

8.2.4　热的传导354

第九章　ε-δ语言358

9.1　数列极限的ε-N语言358

9.1.1　数列极限的定义358

9.1.2　数列极限的一些性质359

9.1.3　极限存在的判别准则362

9.2　函数连续性的ε-δ语言370

9.2.1　连续趋限370

9.2.2　连续函数的定义376

9.2.3　连续函数的一些基本性质378

9.2.4　函数的一致连续性380

9.3　定积分的存在性386

9.3.1　Darboux和386

9.3.2　连续函数的可积性387

9.3.3　定积分概念的推广393

第十章　无穷级数与无穷积分400

10.1　数项级数400

10.1.1　基本概念400

10.1.2　一些收敛判别法402

10.1.3　条件收敛级数406

10.2　函数项级数414

10.2.1　无穷次相加产生的问题414

10.2.2　一致收敛函数列415

10.2.3　一致收敛函数项级数419

10.2.4　隐函数存在定理422

10.2.5　常微分方程解的存在性与唯一性426

10.3.1　幂级数的收敛半径433

10.3　幂级数与Taylor级数433

10.3.2　幂级数的性质436

10.3.3　Taylor级数440

10.3.4　幂级数的应用446

10.4　无穷积分与含参变量积分459

10.4.1　无穷积分的收敛判别法459

10.4.2　含参变量的积分469

10.4.3　含参变量的无穷积分473

10.4.4　几个重要的无穷积分486

11.1.1 三角函数系的正交性498

第十一章 Fourier级数与Fourier积分498

11.1 Fourier级数498

11.1.2 Bessel不等式507

11.1.3 Fourier级数的收敛判别法510

11.2 Fourier积分515

11.2.1 Fourier积分515

11.2.2 Fourier变换517

11.2.3 Fourier变换的应用521

11.2.4　高维Fourier变换523

习题答案525