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第一章 极限与连续1

第一节 初等函数 分段函数1

一、区间与邻域1

二、函数的概念2

三、函数的几种特性3

四、反函数4

五、基本初等函数及图像和性质5

六、复合函数9

七、初等函数9

八、分段函数9

第二节 函数的极限11

一、数列的极限11

二、函数的极限12

第三节 极限的四则运算法则16

第四节 两个重要极限18

一、极限存在准则18

二、两个重要极限19

第五节 无穷大与无穷小20

一、无穷小21

二、无穷大21

三、无穷小的比较22

第六节 函数的连续性与间断点24

一、函数的连续与间断的概念24

二、连续函数的运算与初等函数的连续性26

三、闭区间上连续函数的性质27

第一章综合练习29

第二章 导数与微分31

第一节 函数的变化率、导数的概念31

一、导数的定义31

二、求导举例34

三、导数的几何意义35

四、函数可导性与连续性的关系36

第二节 初等函数的微分法37

一、导数的四则运算法则37

二、反函数的求导法则38

三、复合函数求导法则39

第三节 高阶导数41

第四节 隐函数及参变量函数的导数42

一、隐函数的求导方法42

二、参变量函数的求导方法43

第五节 微分及其简单应用44

一、微分的概念44

二、微分的几何意义46

三、微分基本公式与运算法则46

四、微分在近似计算中的应用48

第二章综合练习49

第三章 导数的应用51

第一节 中值定理51

第二节 未定式的极限(洛必达法则)54

一、？型未定式的极限54

二、？型未定式的极限56

三、其他类型未定式的极限57

第三节 函数的单调性与极值60

一、函数单调性的判定60

二、函数的极值及其求法63

三、函数的最大值和最小值66

第四节 曲线的凹凸及拐点 渐近线 函数作图69

一、曲线的凹凸及拐点70

二、渐近线71

三、函数作图73

第五节 曲率76

一、曲率的概念76

二、曲率半径 曲率圆79

第三章综合练习80

第四章 不定积分82

第一节 不定积分的概念与性质82

一、原函数82

二、不定积分83

三、不定积分的性质84

四、基本积分公式85

第二节 换元积分法88

一、第一类换元积分法(凑微分法)88

二、第二类换元积分法94

第三节 分部积分法100

第四章综合练习104

第五章 定积分106

第一节 定积分的概念和性质106

一、引例106

二、定积分的概念109

三、定积分的性质111

第二节 微积分基本公式113

一、变上限定积分函数及其导数113

二、积分中值定理116

三、牛顿-莱布尼兹公式116

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法120

一、定积分的换元积分法120

二、定积分的分部积分法122

第四节 广义积分124

一、无穷区间上的广义积分124

二、无界函数的广义积分126

第五章综合练习129

第六章 定积分的应用131

第一节 定积分的微元法131

第二节 平面图形的面积132

第三节 旋转体的体积136

第四节 平面曲线的弧长139

一、直角坐标情形139

二、参数方程情形140

第五节 定积分的物理应用141

一、变力作功141

二、液体的侧压力143

第六节 平均值145

第六章综合练习147

第七章 无穷级数149

第一节 数项级数的概念和性质149

一、数项级数及其敛散性149

二、级数收敛的必要条件151

第二节 正项级数152

一、正项级数收敛的条件152

二、正项级数收敛的判别法153

第三节 任意项级数157

一、交错级数157

二、绝对收敛与条件收敛159

第四节 函数项级数160

一、函数项级数的概念160

二、幂级数及其收敛性161

三、幂级数的运算164

第五节 函数的幂级数展开166

一、麦克劳林级数166

二、函数直接展开成幂级数168

三、间接展开法170

四、函数的幂级数展开式的应用172

第六节 傅立叶级数174

一、三角级数、三角函数系的正交性174

二、函数展开成傅立叶级数175

第七节 正弦级数和余弦级数181

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数181

二、函数展开成正弦级数或余弦级数182

第八节 周期为2l的周期函数的傅立叶级数184

第七章综合练习186

第八章 微分方程187

第一节 微分方程的基本概念187

一、实例187

二、微分方程的基本概念188

第二节 一阶微分方程190

一、可分离变量的一阶微分方程190

二、齐次方程192

三、一阶线性微分方程194

四、贝努利(Bernoulli)方程197

第三节 可降阶的高阶微分方程199

一、y(n)=f(x)型微分方程199

二、y"=f(x,y')型微分方程199

三、y"=f(y,y')型微分方程200

第四节 二阶线性微分方程通解结构202

一、二阶线性齐次微分方程的解的结构202

二、二阶线性非齐次微分方程的解的结构203

第五节 二阶常系数线性微分方程的解法204

一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法205

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法207

第八章综合练习211

第九章 向量代数与空间解析几何213

第一节 空间直角坐标系213

一、空间直角坐标系213

二、空间两点的距离214

第二节 向量216

一、向量的概念216

二、向量的线性运算216

三、向量的坐标218

第三节 数量积 向量积221

一、向量的数量积221

二、向量的向量积223

第四节 平面及其方程226

一、平面的点法式方程226

二、平面的一般方程226

三、两平面的夹角227

第五节 空间直线及其方程229

一、空间直线的点向式方程和参数方程229

二、空间直线的一般方程230

三、两直线的夹角231

第六节 曲面和空间曲线231

一、曲面及其方程231

二、空间曲线及其方程235

三、二次曲面236

第九章综合练习239

第十章 多元函数微分法241

第一节 多元函数的概念241

一、多元函数的定义241

二、二元函数的几何意义243

三、二元函数的极限243

四、二元函数的连续性244

第二节 偏导数245

一、偏导数的概念245

二、偏导数的求法246

三、高阶偏导数248

第三节 全微分的概念250

一、全微分的定义250

二、全微分在近似计算上的应用251

第四节 多元复合函数与多元隐函数微分法252

一、多元复合函数求导法则252

二、多元隐函数求导公式255

第五节 偏导数的几何应用256

一、空间曲线的切线与法平面256

二、曲面的切平面与法线258

第六节 多元函数的极值260

一、多元函数的极值260

二、多元函数的最大、最小值问题261

三、条件极值262

第十章综合练习263

第十一章 重积分与曲线积分265

第一节 二重积分的概念与性质265

一、二重积分的概念265

二、二重积分的性质267

第二节 二重积分的计算法269

一、二重积分在直角坐标系中的计算方法269

二、二重积分在极坐标系中的计算方法274

第三节 曲线积分的概念与计算278

一、对弧长的曲线积分的概念与计算279

二、对坐标的曲线积分的概念与计算281

三、格林公式，对坐标的曲线积分与路径无关的条件285

第十一章综合练习290

附录291

习题答案309