数学桥 对高等数学的一次观赏之旅PDF|Epub|txt|kindle电子书版本下载

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1.数1

1.1　计数2

1.1.1　自然数2

1.1.1.1　自然数的构造2

1.1.1.2　算术3

1.1.2　整数4

1.1.2.1　零和负整数的性质5

1.1.3　有理数6

1.1.4　序6

1.1.4.1　使N,Z和Q有序7

1.1.5　从一到无穷大8

1.1.5.1　无穷集的比较8

1.1.6　无穷算术8

1.1.7　超越∞11

1.2　实数13

1.2.1　怎样产生无理数15

1.2.1.1　实数的代数描述16

1.2.2　有多少个实数17

1.2.3　代数数和超越数18

1.2.3.1　超越数的例子20

1.2.4　连续统假设和更大的无穷大20

1.3　复数及其高维同伴22

1.3.1　复数i的发现22

1.3.2　复平面23

1.3.2.1　复数在几何中的应用24

1.3.3　棣莫弗定理25

1.3.4　多项式和代数基本定理26

1.3.4.1　多项式方程的求解26

1.3.5　还有其他的数吗28

1.3.5.1　四元数29

1.3.5.2　凯莱数31

1.4　素数31

1.4.1　计算机、算法和数学32

1.4.2　素数的性质33

1.4.3　素数有多少个34

1.4.3.1　素数的分布35

1.4.4　欧几里得算法35

1.4.4.1　欧几里得算法的速度36

1.4.4.2　连分数37

1.4.5　贝祖引理和算术基本定理39

1.5　模整数40

1.5.1　模为素数的算术41

1.5.1.1　一个关于素数的公式42

1.5.1.2　费马小定理43

1.5.2　RSA密码43

1.5.2.1　建立RSA体制44

1.5.2.2　一种RSA密码体制46

2.分析49

2.1　无穷极限50

2.1.1　三个例子50

2.1.1.1　阿基里斯和乌龟50

2.1.1.2　连续复合利率51

2.1.1.3　方程的迭代解法53

2.1.2　极限的数学描述55

2.1.2.1　收敛的一般准则58

2.1.3　极限应用于无穷和58

2.1.3.1　一个例子：几何级数59

2.2　无穷和的收敛与发散59

2.2.1　调和级数60

2.2.2　收敛判别法60

2.2.2.1　比较判别法61

2.2.2.2　交错级数判别法62

2.2.2.3　绝对收敛62

2.2.2.4　比率判别法63

2.2.3　幂级数及其收敛半径64

2.2.3.1　确定收敛半径65

2.2.4　无穷级数的重新排列66

2.3　实函数67

2.3.1　实值函数的极限67

2.3.2　连续函数69

2.3.3　微分71

2.3.3.1　例子73

2.3.3.2　微分中值定理75

2.3.3.3　洛必达法则77

2.3.4　面积与积分78

2.3.5　微积分基本定理79

2.4　对数函数和指数函数以及e81

2.4.1　Inx的定义81

2.4.2　expx的定义84

2.4.3　欧拉数e85

2.4.3.1　e的无理性87

2.5　幂级数88

2.5.1　泰勒级数90

2.5.1.1　作为警示的例子92

2.5.1.2　实函数的复扩张92

2.6　π与分析学观点下的三角学93

2.6.1　角度与扇形面积94

2.6.1.1　π的一个级数展开式95

2.6.2　正切、正弦和余弦97

2.6.2.1　用幂级数定义sinx和cosx98

2.6.3　傅里叶级数99

2.7　复函数102

2.7.1　指数函数和三角函数102

2.7.2　复函数的几个基本性质103

2.7.3　对数函数及多值函数103

2.7.4　复数幂105

3.代数107

3.1　线性性108

3.1.1　线性方程108

3.1.1.1　线性方程组109

3.1.2　向量空间111

3.1.2.1　直线、平面和其他向量空间112

3.1.2.2　向量空间的子空间和交113

3.1.2.3　向量的物理学例子114

3.1.2.4　有多少个向量空间115

3.1.2.5　向量的进一步例子118

3.1.3　将向量空间投入应用：线性映射和矩阵119

3.1.3.1　再探联立线性方程组119

3.1.3.2　矩阵代数的性质120

3.1.4　解线性方程组121

3.1.4.1　齐次方程121

3.1.4.2　线性微分算子121

3.1.4.3　非齐次线性方程122

3.1.4.4　求方阵的逆阵122

3.1.4.5　行列式124

3.1.4.6　行列式的性质124

3.1.4.7　方阵的求逆阵公式125

3.2　最优化125

3.2.1　线性约束125

3.2.2　单纯形法126

3.2.2.1　一个例子129

3.2.2.2　食谱问题131

3.2.2.3　运输问题131

3.2.2.4　博弈132

3.3　距离、长度和角度132

3.3.1　纯量积133

3.3.1.1　标准几何与欧氏纯量积133

3.3.1.2　多项式和纯量积135

3.3.2　一般纯量积137

3.3.2.1　柯西-施瓦茨不等式137

3.3.2.2　长度和距离的一般性质138

3.3.2.3　不是由纯量积导出的长度139

3.4　几何与代数140

3.4.1　二维空间中的二次型141

3.4.2　三维空间中的二次曲面142

3.4.3　特征向量和特征值143

3.4.3.1　求特征向量和特征值144

3.4.3.2　实对称矩阵的特殊性质144

3.4.3.3　再探二次型146

3.4.3.4　例子再探146

3.4.4　等距变换148

3.4.4.1　平移151

3.4.4.2　行列式、体积和等距变换151

3.5　对称153

3.5.1　对称群154

3.5.1.1　群公理155

3.5.1.2　再说四元数155

3.5.1.3　模为p的整数乘法156

3.5.2　对称中的对称——子群157

3.5.2.1　有限群的特殊性质158

3.5.3　群作用160

3.5.4　二维和三维的墙纸162

3.5.4.1　点阵上的墙纸163

3.5.4.2　贴墙纸165

3.5.4.3　对晶体学的应用166

4.微积分与微分方程169

4.1　微积分的起因和内容169

4.1.1　加速度、速度和位置169

4.1.1.1　积分170

4.1.2　多亏牛顿172

4.1.2.1　一种单摆172

4.1.2.2　从单摆到复摆173

4.1.2.3　基于牛顿定律的微积分的发展174

4.2　线性常微分方程175

4.2.1　线性常微分方程的全解175

4.2.2　非齐次方程176

4.2.3　解齐次线性方程177

4.2.3.1　常系数方程177

4.2.4　幂级数解法178

4.2.4.1　贝塞尔函数180

4.2.4.2　一般的级数求解法181

4.3　偏微分方程181

4.3.1　偏导数的定义182

4.3.2　弦振动方程182

4.3.2.1　波动解释184

4.3.2.2　分离变量法185

4.3.2.3　初始条件和边界条件185

4.3.2.4　弦乐器186

4.3.3　扩散方程187

4.3.3.1　太阳能加热189

4.3.4　从实数看复导数190

4.3.4.1　拉普拉斯方程191

4.4　微积分与几何相遇192

4.4.1　切向量与法向量192

4.4.2　梯度、散度和旋度195

4.4.3　面积分与体积分196

4.4.3.1　高斯积分198

4.4.3.2　散度的几何解释199

4.4.3.3　旋度的几何解释201

4.4.3.4　重访傅里叶201

4.4.3.5　散度定理的应用201

4.4.4　拉普拉斯方程和泊松方程203

4.4.4.1　解拉普拉斯方程203

4.4.4.2　泊松方程204

4.4.4.3　边界条件与解的唯一性204

4.5　非线性性205

4.5.1　关于流体运动的纳维-斯托克斯方程205

4.5.2　微分方程的扰动207

4.5.2.1　弹道学208

4.5.2.2　单摆并不简单210

4.6　定性方法：不求出解的解法213

4.6.1　解微分方程意味着什么214

4.6.2　相空间与轨道215

4.6.3　画出相空间轨道图216

4.6.3.1　一阶非线性微分方程216

4.6.3.2 二阶非线性微分方程216

4.6.3.3　披着虎皮的简谐运动217

4.6.3.4　非线性方程的例子218

4.6.4　不动点附近的一般流型221

4.6.5　例子：猎食方程221

4.6.6　相互竞争的食草动物223

5.概率227

5.1　概率论的基本概念227

5.1.0.1　生日相同问题228

5.1.1　两个作为警示的例子230

5.1.1.1　比赛中止问题230

5.1.1.2　门和山羊的问题231

5.2　严格的概率论232

5.2.1　容斥公式233

5.2.1.1　外套问题234

5.2.2　条件概率235

5.2.2.1　贝叶斯统计学家236

5.2.3　全概率定律和贝叶斯公式237

5.2.3.1　药物检测的可靠性238

5.3　样本空间上的函数：随机变量239

5.3.1　二项分布240

5.3.2　二项分布的泊松近似242

5.3.2.1　噪声数据中的误差分布243

5.3.3　泊松分布243

5.3.3.1　泊松分布的解释245

5.3.4　连续型随机变量245

5.3.4.1　正态分布246

5.3.4.2　均匀分布248

5.3.4.3　伽马随机变量249

5.3.5　概率在素数中的一个应用250

5.3.6　平均化与期望251

5.3.6.1　在二项分布和泊松分布的试验中我们应该期望得到什么252

5.3.6.2　在正态分布的试验中我们应该期望得到什么253

5.3.6.3　收集问题254

5.3.6.4　柯西分布254

5.3.7　离散程度与方差255

5.3.7.1　期望和方差的一种动力学解释256

5.4　极限定理256

5.4.1　切比雪夫不等式257

5.4.1.1　切比雪夫不等式给出了最好界限257

5.4.1.2　将对平均值的偏差标准化258

5.4.1.3　标准化随机变量259

5.4.2　大数律259

5.4.2.1　蒙特卡罗积分法260

5.4.3　中心极限定理和正态分布262

5.4.3.1　中心极限定理262

6.理论物理265

6.1　牛顿的世界266

6.1.1　行星的绕日运动267

6.1.1.1　变换运动方程267

6.1.1.2　问题的解268

6.1.1.3　牛顿的反引力271

6.1.2　证明能量守恒271

6.1.3　其他类型的力导致行星灾难273

6.1.4　地球、太阳和月亮？275

6.2　光、电、磁276

6.2.1　静电277

6.2.1.1　关于一个磁体的方程277

6.2.2　电流与磁性279

6.2.3　关于电磁波的麦克斯韦方程279

6.2.3.1　真空中电磁波方程的解280

6.3　相对论与宇宙的几何281

6.3.1　狭义相对论283

6.3.1.1　长度收缩与时间延缓286

6.3.1.2　作为一种时空旋转的洛伦兹变换287

6.3.1.3　作为时空对称群的洛伦兹变换289

6.3.1.4　相对论性动量290

6.3.2　广义相对论和引力292

6.3.2.1　施瓦氏黑洞293

6.4　量子力学294

6.4.1　量子化295

6.4.1.1　波粒二象性295

6.4.2　量子力学的数学系统297

6.4.2.1　基本方程297

6.4.3　量子力学的基本设置300

6.4.3.1　陷进一维盒子的粒子301

6.4.3.2　动量本征态303

6.4.3.3　推广到三维空间304

6.4.4　海森伯的不确定性原理304

6.4.4.1　不确定性在起作用306

6.4.5　接下来是什么307

附录A　给读者的练习309

A.1　数309

A.2　分析317

A.3　代数326

A.4　微积分与微分方程337

A.5　概率349

A.6　理论物理360

附录B　阅读进阶370

附录C　基本数学知识374

C.1　集合374

C.1.1　符号374

C.1.2　集合的运算374

C.2　逻辑和证明375

C.2.1　证明的形式375

C.3　函数376

C.3.1　复合函数376

C.3.2　阶乘376

C.3.3　幂、指数和二项式定理376

C.3.4　指数、e和自然对数377

C.3.5　三角函数377

C.3.6　双曲函数377

C.4　向量和矩阵378

C.4.1　向量的运算378

C.4.2　极坐标379

C.4.3　矩阵379

C.5　微积分380

C.5.1　微分380

C.5.2　积分381

C.5.3　位置、速度和加速度381

C.5.4　简谐运动381

附录D　字母与符号382

D.1　希腊字母表382

D.2　数学符号382

译者后记385