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第1章 多元函数及其微分学1

1.1 n维Euclid空间Rn1

1.1.1 n维Euclid空间2

1.1.2 n维Euclid空间中的开集与闭集2

1.1.3 Rn中集合的连通性4

1.1.4 Rn中的点列，点列的收敛性以及收敛点列的性质4

1.1.5 Rn的进一步研究6

习题1.17

1.2 n元函数与n元向量值函数8

1.2.1 n元函数8

1.2.2 Rn→Rm的向量值函数10

习题1.212

1.3 多元函数（向量值函数）的极限与连续13

1.3.1 向量值函数的极限13

1.3.2 向量值函数的连续性19

1.3.3 无穷小函数的阶21

习题1.322

1.4 多元函数的全微分及偏导数24

1.4.1 n元函数的全微分24

1.4.2 偏导数、全微分的计算27

1.4.3 方向导数、梯度35

1.4.4 数量场的梯度37

1.4.5 高阶偏导数39

习题1.442

1.5 向量值函数44

1.5.1 向量值函数的微分44

1.5.2 可微复合向量值函数的微分48

习题1.553

1.6 隐（向量值）函数、反（向量值）函数的存在性及其微分55

习题1.665

1.7 曲面与曲线的表示法、切平面与切线67

1.7.1 R3中的曲面67

1.7.2 R3中的曲线69

1.7.3 曲面的切平面和法线70

1.7.4 空间曲线及其切线和法平面74

习题1.778

1.8 Taylor公式79

习题1.881

1.9 极值与条件极值82

1.9.1 多元函数的极值82

1.9.2 条件极值87

习题1.993

第1章总复习题95

第2章 含参积分及广义含参积分98

2.1 预备知识99

2.1.1 多元函数的一致连续性99

2.1.2 广义积分的一致收敛性100

习题2.1103

2.2 由含参积分所定义函数的微积分性质104

习题2.2109

2.3 广义含参积分110

习题2.3115

第2章总复习题115

第3章 重积分117

3.1 矩形域上的二重积分119

习题3.1124

3.2 一般平面有界集合上的二重积分125

习题3.2127

3.3 二重积分的计算方法——累次积分法128

3.3.1 矩形域上二重积分的计算128

3.3.2 一般平面有界集上的二重积分计算——累次积分法130

3.3.3 二重积分的变量代换法135

3.3.4 二重积分在极坐标系下的累次积分法138

习题3.3143

3.4 三重积分147

3.4.1 三重积分的可积性理论147

3.4.2 三重积分的计算——累次积分法148

3.4.3 三重积分的变量代换法152

3.4.4 三重积分在柱坐标系下的累次积分152

3.4.5 三重积分在球坐标系下的累次积分154

习题3.4160

3.5 重积分的应用162

3.5.1 曲面的面积问题162

3.5.2 物体的质心问题165

3.5.3 转动惯量问题168

3.5.4 引力问题169

习题3.5169

第3章总复习题170

第4章 曲线积分与曲面积分173

4.1 曲线与曲面173

4.1.1 R2或R3中的C（1）类光滑的正则曲线173

4.1.2 R3中的C（1）类光滑的正则曲面174

4.1.3 曲线与曲面的定向175

习题4.1177

4.2 第一类曲线积分177

习题4.2182

4.3 第一类曲面积分183

习题4.3186

4.4 第二类曲线积分187

习题4.4191

4.5 第二类曲面积分193

4.5.1 第二类曲面积分的定义和性质193

4.5.2 第二类曲面积分的计算196

习题4.5201

4.6 平面向量场、Green公式202

4.6.1 Green公式202

4.6.2 平面第二类曲线积分与路径无关的条件，原函数207

习题4.6214

4.7 空间向量场、Gauss公式和Stokes公式216

4.7.1 Gauss公式216

4.7.2 Stokes公式、空间第二类曲线积分与路径无关的条件219

习题4.7226

第4章总复习题229

第5章 常数项级数231

5.1 无穷级数的收敛性231

习题5.1234

5.2 非负项级数的收敛性235

习题5.2245

5.3 任意项级数的收敛性246

5.3.1 任意项级数的两种收敛性246

5.3.2 交错项级数的收敛性247

5.3.3 任意项级数的收敛性250

5.3.4 无穷求和运算的结合律和交换律253

习题5.3257

5.4 无穷乘积258

习题5.4260

第5章总复习题260

第6章 函数项级数263

6.1 函数项级数的收敛性263

6.1.1 函数项级数的逐点收敛性263

6.1.2 函数项级数的一致收敛性264

习题6.1270

6.2 一致收敛函数项级数和函数的性质271

习题6.2281

6.3 幂级数、函数的幂级数展开281

6.3.1 幂级数的收敛性与一致收敛性282

6.3.2 无穷可导函数的幂级数展开286

习题6.3291

第6章总复习题292

第7章 Fourier级数295

7.1 形式Fourier级数295

7.1.1 内积与内积空间295

7.1.2 2π周期函数的形式Fourier级数297

7.1.3 其他周期函数的形式Fourier级数302

习题7.1303

7.2 Fourier级数的性质及收敛性303

7.2.1 Fourier级数的性质303

7.2.2 形式Fourier级数的逐点收敛性305

7.2.3 形式Fourier级数的平方平均距离310

7.2.4 形式Fourier级数的最优性311

7.2.5 形式Fourier级数的平方平均逼近313

习题7.2314

第7章总复习题314

部分习题答案316

索引333