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第1章 函数1

1.1 实数1

1.1.1 从有理数到实数1

1.1.2 实数的性质——连续性2

1.1.3 绝对值、区间和邻域3

习题1.14

1.2 函数5

1.2.1 集合映射与函数的概念5

1.2.2 函数的表示法6

1.2.3 函数的几种特性8

1.2.4 函数的复合9

1.2.5 初等函数10

习题1.212

综合练习一12

第2章 函数的极限 连续函数15

2.1 数列的极限15

2.1.1 从“割圆术”谈起——数列极限15

2.1.2 数列15

2.1.3 数列极限16

习题2.117

2.2 函数的极限18

2.2.1 当x→x0时函数f（x）的极限18

2.2.2 当x→∞时函数f（x）的极限20

2.2.3 函数极限的定量描述21

2.2.4 函数极限的性质23

习题2.223

2.3 极限的四则运算法则24

习题2.326

2.4 两个极限存在性判定准则 两个重要极限公式26

2.4.1 两个极限存在性判定准则26

2.4.2 一个重要极限26

2.4.3 与自然生长有关的极限公式29

习题2.431

2.5 无穷小与无穷大32

2.5.1 无穷小32

2.5.2 无穷大33

2.5.3 无穷小的比较33

习题2.535

2.6 连续函数36

2.6.1 连续函数的概念36

2.6.2 初等函数的连续性39

2.6.3 闭区间上连续函数的性质41

习题2.641

综合练习二42

第3章 一元函数微分学44

3.1 导数44

3.1.1 两个例题44

3.1.2 导数的概念45

3.1.3 导数的几何意义、物理意义48

3.1.4 连续性与可导性的关系48

习题3.150

3.2 导数的基本公式和求导法则51

3.2.1 基本初等函数的导数51

3.2.2 导数的四则运算52

3.2.3 复合函数求导法54

3.2.4 隐函数求导法56

习题3.258

3.3 微分59

3.3.1 微分的概念及运算59

3.3.2 参数方程表示的函数的微分法63

3.3.3 微分的应用64

习题3.366

3.4 高阶导数67

3.4.1 y＝f（x）的高阶导数的求法68

3.4.2 隐函数的二阶导数69

3.4.3 参数方程表示的函数的二阶导数70

习题3.471

综合练习三72

第4章 中值定理及导数的应用74

4.1 中值定理74

4.1.1 罗尔（Rolle）定理74

4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理75

4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理77

习题4.177

4.2 洛必达（L′Hospital）法则78

习题4.281

4.3 函数的单调性82

习题4.384

4.4 函数的极值与最值84

4.4.1 函数的极值84

4.4.2 最大值与最小值88

4.4.3 经济应用举例90

习题4.492

4.5 边际分析与弹性分析简介93

4.5.1 边际分析93

4.5.2 弹性分析94

习题4.595

4.6 函数的凸性和曲线的拐点、渐近线96

4.6.1 函数的凸性和曲线的拐点96

4.6.2 渐近线98

习题4.699

4.7 函数图像的描绘100

习题4.7102

综合练习四102

第5章 一元函数积分学105

5.1 原函数与不定积分105

5.1.1 函数的原函数与不定积分105

5.1.2 基本积分公式107

5.1.3 不定积分的性质108

习题5.1109

5.2 换元积分法110

5.2.1 第一类换元积分法110

5.2.2 第二类换元积分法113

习题5.2116

5.3 分部积分法117

习题5.3121

5.4 定积分的概念与性质122

5.4.1 两个实例——曲边梯形的面积与变速直线运动的路程122

5.4.2 定积分的定义125

5.4.3 定积分的几何意义126

5.4.4 定积分的性质126

习题5.4130

5.5 微积分基本公式131

5.5.1 变上限的定积分131

5.5.2 微积分基本公式132

习题5.5134

5.6 定积分的换元法134

习题5.6136

5.7 定积分的分部积分法136

习题5.7139

5.8 反常积分139

5.8.1 无穷区间上的反常积分139

5.8.2 无界函数的反常积分140

习题5.8142

5.9 定积分的应用142

5.9.1 微元法142

5.9.2 定积分在几何上的应用——面积、体积、弧长143

5.9.3 定积分在物理上的应用149

习题5.9151

综合练习五152

第6章 无穷级数155

6.1 数项级数的概念及性质155

6.1.1 无穷级数的敛散性155

6.1.2 无穷级数的基本性质157

习题6.1160

6.2 正项级数160

6.2.1 正项级数的比较判别法160

6.2.2 正项级数的比值判别法163

习题6.2165

6.3 任意项级数166

6.3.1 交错级数及其敛散判别法166

6.3.2 绝对收敛与条件收敛168

习题6.3170

6.4 幂级数170

6.4.1 幂级数的概念及收敛域170

6.4.2 幂级数的性质175

6.4.3 函数展开成幂级数179

习题6.4184

综合练习六185

第7章 常微分方程187

7.1 常微分方程的基本概念187

习题7.1189

7.2 一阶微分方程190

7.2.1 可分离变量的微分方程190

7.2.2 齐次方程191

7.2.3 一阶线性微分方程194

习题7.2198

7.3 二阶微分方程198

7.3.1 可降阶的二阶微分方程198

7.3.2 二阶线性微分方程解的结构201

7.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程202

7.3.4 二阶常系数非齐次线性微分方程204

7.3.5 常系数线性微分方程组举例211

习题7.3212

综合练习七213

第8章 空间解析几何与向量代数216

8.1 空间直角坐标系216

8.1.1 空间直角坐标系216

8.1.2 空间两点间的距离218

习题8.1219

8.2 向量代数219

8.2.1 向量及其加减法 向量与数的乘法219

8.2.2 向量的坐标223

8.2.3 向量的数量积 向量积226

习题8.2231

8.3 平面与空间直线231

8.3.1 平面及其方程231

8.3.2 空间直线及其方程235

习题8.3239

8.4 曲面及其方程简介240

8.4.1 空间曲面与三个变量的方程F（x，y，z）＝0的对应关系240

8.4.2 柱面方程240

习题8.4242

综合练习八242

第9章 多元函数微分学245

9.1 二元函数的极限及连续性245

9.1.1 区域245

9.1.2 二元函数247

9.1.3 二元函数的极限247

9.1.4 二元函数的连续性249

习题9.1250

9.2 偏导数250

9.2.1 偏导数的概念250

9.2.2 高阶偏导数253

习题9.2254

9.3 全微分255

9.3.1 全微分的概念255

9.3.2 全微分在近似计算中的应用257

习题9.3258

9.4 多元复合函数的微分法258

9.4.1 多元复合函数的求导法则258

9.4.2 复合函数的全微分261

习题9.4262

9.5 隐函数的微分法262

习题9.5264

9.6 多元函数的极值264

9.6.1 多元函数的极值及最大值、最小值264

9.6.2 条件极值拉格朗日乘数法266

9.6.3 最小二乘法269

习题9.6272

综合练习九272

第10章 二重积分274

10.1 二重积分的概念与性质274

10.1.1 两个典型问题274

10.1.2 二重积分的定义276

10.1.3 二重积分的性质277

习题10.1278

10.2 二重积分的计算279

10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分279

10.2.2 在极坐标系下计算二重积分285

习题10.2289

10.3 二重积分的应用290

10.3.1 体积290

10.3.2 曲面的面积291

10.3.3 平面薄片的重心293

习题10.3294

综合练习十294

附录一 常用的初等数学公式297

附录二 积分表（节选）301

习题参考答案308